CHAPITRE Y. 
LES FONCTIONS DE 11 VARIABLES. 
I. — Ensembles de points dans l'espace à a dimensions. 
60. Nous allons maintenant reprendre à un point de vue tout à 
fait général les questions étudiées dans les précédents chapitres, 
en nous plaçant dans le cas des fonctions de plusieurs variables. 
Quand on considère une fonction de n variables, x,, x 2 , ..., 
x ni on peut dire (pie l argement de la fonction est un point de 
l’espace à n dimensions. Il y a donc lieu tout d’abord d’étendre 
aux ensembles de points à n dimensions les définitions et les 
théorèmes qui nous ont servi dans le cas des ensembles linéaires. 
Désignons par G« l’espace à n dimensions. Ce sera, par défini 
tion, l’ensemble des points x { , ..., x n , chaque variable xi 
pouvant prendre toutes les valeurs réelles finies. 
Un point A est dit point limite pour un ensemble de points P, 
si toute sphère de centre A contient au moins un point de P dif 
férent de A, autrement dit, contient une infinité de points de P. 
Etant donné un ensemble P, soit P* l’ensemble des points limites 
de P. P' esL appelé Y ensemble dérivé de P. Un ensemble est dit 
fermé s il contient tous ses points limites. Un ensemble dérivé 
est fermé. On dit qu’un ensemble est dense en lui-même si cha 
cun de ses points est un point limite pour cet ensemble. On dit 
qu’un ensemble est parfait s’il coïncide avec son dérivé, c’est- 
à-dire, s’il est fermé et dense en lui-même. 
Par exemple, dans l’espace G 2 , on constate que l’ensemble des 
points situés à l’intérieur et sur le contour d’un cercle est un en 
semble parfait. L’ensemble des points intérieurs au même cercle 
n’est pas parfait, parce qu’il n’est pas fermé. Mais il est dense en 
lui-même.