LES FONCTIONS DE 11 VARIABLES. 
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formée de o par T -1 , f est quelconque, cp est bornée et comprise 
entre —i et i. Je dis qu’à un poin t de continuité de y cor 
respond un point de continuité de cp, et réciproquement. En effet, 
dire, par exemple, que f est continue en A, c’est dire qu’étant 
donnée une suite arbitraire de points A,, A 2 , ..., A rt , ..., tendant 
vers A, l’on a toujours 
lim/(A„) =/( A). 
On en déduit pour les transformés par T 
lim cp(A w ) = <?( A). 
Soit maintenant une suite de fonctions • ••, ten 
dant vers une fonction f. Appliquons à toutes ces fonctions la 
t ransformation T. ISous les remplaçons par des fonctions nou 
velles cp,, cp 2 , ..., cp v , ..., et cp. Je dis que cp v a pour limite cp. Car, 
en chaque point A, l’égalité 
entraîne 
l¡ m /v(A)=/(A) 
lim <p v ( A ) = cp( A). 
On démontre de même la propriété réciproque de la précé 
dente pour les transformées par T -1 de fonctions cp,, cp 2 , ..., cp v , ..., 
toutes comprises entre — i et + i et tendant vers une fonction cp. 
77. Ceci posé, je dis que, étant donnée une fonction f, elle est 
ou non limite de fonctions continues, en même temps que sa 
transformée par T, cp. 
En effet : i° Si / 2 , ..., ... sont continues, il en est 
de même de leurs transformées cp,, <p 2 , ..., cp v , ..., et, si les pre 
mières tendent vers /*, les secondes tendent vers cp. Donc, si f est 
limite de fonctions continues, es l est également. 
2° Supposons es limite de fonctions continues, cp étant compris 
entre — i et -f- i, on peut toujours supposer — i ^ cp v i. Multi 
plions respectivement les fonctions cp,, o 2 , ..., cp v , ..., par des 
constantes a,, a 2 , ..., a v , ..., positives, inférieures à i et tendant 
vers i. Considérons les fonctions a,cp,, a 2 cp 2 , ..., a v cp v , .... Elles 
tendent vers cp. De plus, les a v <p v satisfont aux conditions