LES FONCTIONS DE 11 VARIABLES. 
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marquées par les nombres des classes 1 et II. Je dis que E contient 
toutes ses fonctions limites r c’est-à-dire que si une suite de fonc 
tions /,,/>, ...,/,, ... a pour limite f, et si toutes appartiennent 
à E, il en est de même de f. En effet, par hypothèse, les fonctions 
/,,/,, ..., /, ... appartiennent à certaines classes a,, a 2 , ..., 
a v , .... Nous savons qu’il existe un nombre a des classes I ou II, 
supérieur à tous ces nombres; donc f est de classe a ou de classe 
inférieure; donc/fait partie de E. 
Il est intéressant de se demander s’il existe une propriété qui 
se conserve à la limite, c’est-à-dire telle que,/Y, / 2 , ...,/,, ••• la 
possédant, et ayant une limite /, / la possède également. Je me 
contente d’énoncer la proposition suivante : 
Soit une fonction/définie sur un ensemble parfait P. S’il existe 
une fonction o définie sur P, de classe 1 et telle que les points où 
/ esL différente de o forment un ensemble de première catégorie 
dans P, cette propriété se conserve à la limite. On voit qu’elle 
appartient aux fonctions continues et aux fonctions de classe I. 
Elle appartient donc à toutes les fonctions de l’ensemble E ('). (*) 
(*) Pour la démonstration, voir mon mémoire « Sur la représentation des 
fonctions continues » (pour paraître aux Acta mathematica). 
FIN.