l6 CHAPITRE 
11. Ensembles dérivés d'ordre supérieur. — Supposons que 
P* contienne une infinité de points. P' possède alors un ensemble 
dérivé que nous noterons P 2 . Nous dirons que P 2 est le dérivé 
d'ordre i de P. 
Puisque P 1 est fermé (n° 10), P 2 est contenu dans P 1 . Nous 
noterons ce fait ainsi (*) : 
P‘^ P2. 
Réalisons des exemples d’ensembles de points possédant un 
dérivé du second ordre P 2 . 
Nous allons chercher à former un ensemble où le point 
appartient à P 2 . P* devra contenir une infinité de points ayant 
ce point pour point limite. Ce seront par exemple les points 
- + - > - +-;>•••» - -f- —-»•••- Il nous faut maintenant placer de 
nouveaux points ayant pour points limites les points de P 1 . Con 
sidérons l’intervalle de i à ^ + -• Nous y plaçons une infinité de 
i 
4 
points ayant pour point limite le point ~ -• Ce seront les points 
1 1 \ 1 / 1 1 \ 1 
2 4 / 8 \ 2 4 1 1 Ù 
Pareillement, dans chacun des intervalles en nombre infini de la 
forme 1 H—- à - -t —-, » nous plaçons un ensemble de points 
2 2 /l 2 2 /i+1 1 * r 
occupant la même situation par rapport à cet intervalle que l’en 
semble • • • j par rapport à l’intervalle (o, i ). 
Soit P l’ensemble des points ainsi obtenus. On voit que les 
points -> ~ + • • •> ^ + ~j l ’’ • • • sont points limites pour P. Ils 
appartiennent donc à P'. Ces points de P 1 ont un point limite, 
le point - ■ Ce point appartient à P 2 . Nous avons ainsi construit un 
ensemble P dont le dérivé du second ordre contient un point donné 
à l’avance. 
(*) D’une manière générale, nous indiquerons par P^Q le fait que l’ensemble 
P contient tous les points de Q, par P > Q le fait que P contient tous les points 
de Q et, en outre, au moins un point.