LES ENSEMBLES BIEN ORDONNES ET LES NOMBRES TRVNSFINIS 
— La notion d’ensemble bien ordonné. 
16. Nous avons introduit, pour rappeler l’échelonnement suc 
cessif des ensembles définis au n° 15, des notations nouvelles qui 
ont l’avantage de rappeler d’une façon simple l’ordre relatif des 
différents ensembles introduits, ce qui serait beaucoup plus difficile 
avec l’emploi exclusif des nombres entiers positifs. 
Les signes introduits constituent les premiers nombres trans 
finis de M. Cantor. Nous allons préciser cette notion de nombre 
transfini par de nouveaux exemples de cas où elle s’impose. 
Considérons des points en nombre infini, M,, M 2 , . 
( fi g. 12), disposés sur un segment AB de telle manière que M v+1 
soit toujours à la droite de M v . Nous savons qu’en pareil cas, ces 
points restent en deçà d’un point limite P. Introduisons mainte 
nant un nouveau point Q à la droite de P, considérons 1 ensemble 
des points M,, M 2 , ..., M v , P, Q; convenons de dire que, de deux 
points de cet ensemble, celui qui a l’abscisse inférieure a un rang 
inférieur à l’autre, et cherchons à désigner les points de cet 
ensemble par des notations qui indiquent leur ordre relatif. 
Le problème est résolu pour les points M,, M 2 , ..., M v , ..., à 
l’aide des indices dont ils sont affectés. Pour étendre cette solu 
tion aux points P et Q, nous noterons P par M w , en convenant 
qu’un élément d’indice w a un rang supérieur à un élément d’in 
dice v, v étant un entier quelconque. Q sera noté M w+ ,, en conve 
nant une fois pour toutes, que Mw+i a un rang supérieur à M w .