CHAPITRE III, 
LES ENSEMBLES LINÉAIRES. 
1. — Ensembles dérivés d'ordre quelconque. 
32. Appliquons aux ensembles de points les notions acquises 
au Chapitre 11. 
On a appris (Chapitre I) à former des ensembles de points P 
possédant des ensembles dérivés d’ordres : 
I, 2, ..., V, ..., (O, .... lüX -+- V, ..., (U 2 . 
Généralisons la notion d’ensemble dérivé. Etant donné un en 
semble de points sur un segment de droite, et a étant, un nombre 
des classes I ou 11, nous allons définir l’ensemble dérivé d’ordre a 
de P, que nous noterons P a . Pour que la définition s’applique à 
tous les nombres des classes 1 ou 11, il suffit, d’après le procédé 
de récurrence généralisé, que la définition soit donnée pour a = i, 
et qu’étant supposée donnée pour tout nombre a' inférieur à un 
nombre a, elle soit donnée pour a. 
P 1 a été défini. Pour la seconde condition, distinguons deux 
cas : si a est un nombre de première espèce, c’est-à-dire s’il a un 
précédent, a — i, P a sera le dérivé de P“ - 1 . Si a est de seconde 
espèce, il peut être considéré comme la limite d’une suite de 
nombres a, < a 2 < .. .< a v < Je suppose la définition donnée 
pour chacun de ces nombres. Rappelons qu’on a 
pa,> pa a >. # .> pa v ;>, .. , 
Par définition, P a est l’ensemble des éléments communs à tous 
les ensembles P“v. Remarquons qu’on peut dire aussi que P a est 
l’ensemble des points communs à tous les ensembles P“' pour 
lesquels a. 
Les ensembles dérivés sont des ensembles fermés.