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17. Lösung von Aufgaben über Zykelkugeln.
Nr. 86) der reellen Halbachse einer Hyperbel aus den Asymptoten und
einem Punkt. — Wird K zum Punkt (Fall c), so ist er zugleich Scheitel
von H°. Die Zykel von & z haben in diesem Fall von M die Tangential
entfernung m i. — Ist endlich K nullteilig und durch seinen reellen Ver
treter K r gegeben (Fall d), so gibt, wegen j a| = | in 2 + | X 2 , die Strecke
von m° nach einem der Schnittpunkte von I\ mit u! die Länge der
halben Hauptachse von H°.
Nach der Gl. (4) ist nur im Fall a) der Winkel cp reell und be
stimmt. Denn im Fall b) ist rrt/X > 1, also cp imaginär (Nr. 4); im
Fall c) ist, wegen x = 0, cos cp — oo, also cp unbestimmt, und im Fall d)
ist cos cp, wegen des imaginären Wertes von X, imaginär, mithin cp kom
plex. cp könnte wohl auch dann reell werden, wenn X und Ttt imaginär
sind mit | ttt; < | X j. Aber in diesem Fall wäre m imaginär, also 0 selbst
imaginär, während wir uns auf reelle und nullteilige C-Kugeln be
schränken.
Die Affinität $ führt (Nr. 14, Satz 2) wohl auch jede gewöhnliche
reelle oder nullteilige Kugel, deren Mitte nicht in 77 liegt, in eine Fläche
2.0. durch C, also in eine C-Kugel über; aber diese besitzt einen
imaginären Mittelpunkt.
17. Lösung von Aufgaben über Zykelkugeln. Als eine Erweite
rung der in den Nr. 11 u. 12 behandelten Aufgaben über Berührung von
Zykeln oder rechtwinkliges Schneiden von Kreisen ist das Schneiden von
Zykeln (oder Speeren) unter vorgegebenen Winkeln zu betrachten. 1 ) Die
allgemeinste Aufgabe dieser Art wäre die Konstruktion der Zykel, die
drei gegebene Zykel unter Winkeln von gegebenen Kosinuswerten
schneidet. Wir beginnen jedoch mit der einfachem
Aufgabe 1: Gegeben sind zwei Speere T 1 , T 2 und ein Zykel K. Man
ermittle jene Zykel, die T 1 und T 2 berühren und K unter Winkeln cp
schneiden, für die cos cp — 2 / 3 ist (Fig. 61).
Alle Zykel, die K auf die geforderte Art schneiden, bilden ein Iso
gonalsystem, also eine Zykelkugel, deren Mittelzykel M, nach Nr. 16,
Gl. (4), den Halbmesser m = X cos «jp = 2 / 3 X hat. M ist daher mit K
konzentrisch und gleich orientiert. Wie in Fig. 60a ließe sich nun der
nach 77 umgeklappte Meridian H° der dieser Zykelkugel entsprechenden
C-Kugel 0 durch Asymptoten und Scheitel festlegen. Die Bildpunkte aller
T x und T 2 berührenden Zykel gehören jener Geraden T an, von der 7 1 ,
T 2 Bildspeere sind (Nr. 6, Satz 1). Die Bildzykel der Schnittpunkte p, q
x ) Diese Erweiterung behandelten zuerst Fr. E. Neumann, Isis 1826, S. 349 ff.
und J. Steiner, J. f. Math. 1 (1826), S. 161—-184, 252—288 (nach Enzykl. math.
Wissensch. III, AB 9, Nr. 24) = Werke I, S. 17—76, vgl. insbes. S. 21.
