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26. C-Kugeln und C-Inversion. 
orientiert. Umgekehrt kann auf diese Weise eine C-Kugel durch Orien 
tierung einer ihrer Tangentialebenen selbst orientiert werden. Die Geo 
metrie orientierter Kugeln 1 ) läßt sich sofort in eine Geometrie oi\ 
C-Kugeln übertragen. 
Zwei or. C-Kugeln (allgemeiner C-or. Flächen) sollen dann und nur 
dann berührend heißen, wenn sie im Berührungspunkt dieselbe C-Orien- 
tierung haben. Bei verschiedener Orientierung sagen wir (ähnlich wie bei 
Zykeln), die or. C-Kugeln (C-or. Flächen) berühren sich uneigentlich. Das 
räumliche Seitenstück zur Apollonischen Berührungsaufgabe in der Ebene 
besteht darin, zu vier orientierten C-Kugeln die beiden sie berührenden 
zu finden. Die Lösung ist vollkommen ähnlich der durch Satz 3 in Nr. 11 
angegebenen. Sie läßt sich unmittelbar auf die Lösung der entsprechen 
den Aufgabe für or. C-Kugeln übertragen. 
26. C-Kugeln und C-Inversion. Es seien vorerst einige C-metrische 
Eigenschaften reeller oder nullteiliger C-Kugeln erwähnt, die sich durch 
Übertragung (Nr. 25) aus den Eigenschaften der gewöhnlichen Kugeln 
ergeben. 
a) Durch vier reelle, nicht derselben Ebene angehörige Punkte 
a x , a 2> a z , a 4 läßt sich eine einzige C-Kugel legen. Man erhält ihre Mitte 
als Schnitt der C-Symmetrieebenen dreier der Punktepaare, etwa a x a 2 . 
(ty ^ 3 j Cty ^4 • 
(Schon in Nr. 18 erwähnt.) 
b) Sucht man von Geraden durch einen Punkt s die Schnittpunkte 
paare p x p 2 , mit einer C-Kugel = (m, X), so ist 
(1) s p t . sp2 = s'q\. s~q 2 = ... = I~m 2 — X 2 . 
Diese konstante Zahl nennen wir die Potenz der C-Kugel <3? im Punkt s- 
c) Zwei nicht konzentrische C-Kugeln 0 1 = (m 1 , X x ), <P 2 =(m 2 , X 2 ) 
haben einen reellen oder nullteiligen C-Kreis K gemeinsam, durch den 
oo 1 C-Kugeln gehen. Deren Mitten liegen auf der C-Achse von K, d. h. 
anf der C-Normale der Ebene von K durch die Mitte dieser Kurve. In 
den Punkten der Ebene von K haben alle C-Kugeln dieses Büschels die 
selbe Potenz. Diese Ebene heiße daher Potenzebene des Büschels oder je 
zweier seiner C-Kugeln. 
Drei C-Kugeln deren Mitten nicht derselben Geraden an 
gehören, haben zwei Punkte p x , p 2 gemeinsam. Durch diese gehen 2 
x ) Vgl. E. Müller, Die Geometrie orientierter Kugeln nach Grassmann sehen 
Methoden, Monatsh. Math. Phys. 9 (1898), S. 269—315. Vgl. auch F. Müller, Zur 
Geometrie der Gruppe aller Berührungstransformationen der Kugeln, J. f. Math. 154 
(1925), S. 131—154.