II. Kapitel. 
Zykloöraphische Abbildung von f -Kreisen und 
C-Kugeln. 
11. Das Apollonische Problem. Man versteht darunter gewöhnlich 
die Aufgabe, jene Kreise zu zeichnen, die drei vorgegebene Kreise 
berühren. 1 ) Sie läßt sich auf die einfachere zurückführen: Jene Zykel zu 
zeichnen, die drei vorgegebene Zykel P, Q, R berühren. Für P — p z , 
Q — cf, R = r z sind (nach Nr. 2, Satz 2) die Bildpunkte der gesuchten 
Zykel die Schnittpunkte der projizierenden Kegel durch p, q, r. Nun 
schneiden sich je zwei C-Kegel, etwa die projizierenden Kegel durch p 
und q, (abgesehen von C) in einer Kurve 2. O., die mit C zwei (reelle oder 
konjugiert imaginäre) Punkte gemeinsam hat. Diese Kurve wird von dem 
projizierenden Kegel durch r, außer in den zweien C ungehörigen Punkten, 
noch in zwei Punkten k x , k 2 geschnitten, die natürlich wieder reell oder 
konjugiert imaginär sein können. Es sind dies die außerhalb C gemein 
samen Punkte der drei C-Kegel. Durch sie gehen die drei Schnittkurven 
2. O. je zweiei dieser Kegel. Die Bildzykel k\, k\ sind die einzigen 
P, Q, R berührenden Zykel. Daher : 
Zu drei Zykel gibt es zwei sie berührende Zykel (reelle oder konjugiert 
imaginäre ). 
Imaginäre Zykel, die sich so ergeben, haben gewöhnlich auch imagi 
näre Mittelpunkte, sind also nicht bloß nullteilig. 
Um die Lösung obiger Aufgabe einfach durchführen zu können, 
betrachten wir zuerst die Konstruktion der (von C verschiedenen) 
Schnittkurve K der projizierenden Kegel durch zwei Punkte p und q 
etwas näher. Da die Ebene [p q u] — II 2 Symmetrieebene beider Kegel 
ist, steht die Ebene s von K zu TI 2 senkrecht, stellt sich also im Nor 
malriß auf II 2 als Gerade s" dar. Bezeichnen (Fig. 42) p x p 2 und q x q 2 
die Schnittpunkte der Zykel P — p z , Q — cf mit ihrer Zentrale \p' q'], 
x ) Über die Berührung von Kreisen soll Archimedes (2S7—212 v. Chr.) ein 
besondres Buch geschrieben haben. Vielleicht enthielt es schon die Aufgaben, die 
man als „Apollonisches Taktionsproblem“ zusammenfaßt. Das Buch von Apollonias 
(um 265—170 v. Chr.) nsQt, snacpav, über dessen Inhalt Pappus berichtet, ist gleich 
falls nicht erhalten. Der erste, der eine allgemeine Lösung mit Zirkel und Lineal 
gab, war Fr. Vieta (1540—1603) in seinem ,,Apollonius Gallus" (1600). Dabei 
kommen die Ähnlichkeitspunkte der Kreise zur Verwendung, deren Entdeckung 
ihm zuzuschreiben ist, wenn sie auch schon bei Pappus gelegentlich auftreten. 
Vgl. M. Cantor, Vorl. üb. Geschichte der Mathematik, II (2. Aufl.), Leipzig 
1900, S. 590 f.; J. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik, II, Leipzig 1903, 
S. 65 (2. Aufl. IV, S. 124); M. Zacharias, Enzykl. math. Wiss. III, A B 9, S. 1102 f.