12. Kreisbüschel und Kreisbündel. Übungsaufgaben. 
12. Kreisbüschel und Kreisbündel. Übungsaufgaben. Im Vorher 
gehenden haben wir gewöhnlich zu Raumgebilden (Geraden, Ebenen, 
C-Kegeln) die zyklographisch entsprechenden Zykelgebilde in TI gesucht. 
Jetzt sollen uns Beispiele für den umgekehrten Vorgang beschäftigen, 
nämlich zu Kreisbüscheln und Kreisbündeln in TT die zyklographisch 
entsprechenden Punktgebilde im Raum aufzusuchen. 
Alle Kreise (d. h. Paare ergänzender Zykel) durch zwei reelle Punkte 
p, q in II sind nach Nr. 11 die zyklographischen Bilder der Punkte 
jener gleichseitigen Hyperbel H, nach der sich die projizierenden Kegel 
durch p und q schneiden. Ihre Ebene s ist die Symmetrieebene von 
p und q, deren Grundriß s' sich also mit der Bildspur E (Fig. 46) 
deckt. Wegen der Symmetrie von H gegen TI liegt ferner eine Achse 
von H, also auch der Mittelpunkt m der Kurve in II. Aus dem Seiten 
riß auf die zu IT normale Ebene TT 2 durch [p q] ersieht man, daß die 
reellen Scheitel a, b der Hyperbel von m die Entfernung %q haben. 
Mithin besteht der 
Satz 1: Jedes Kreisbüschel (in TL) mit den reellen Grundpunkten p, q 
ist das zyklographische Bild einer gleichseitigen Hyperbel H, deren Ebene 
die Symmetrieebene von p q ist, deren Mitte mit der von p q zusammen 
fällt und deren reelle Achse zu II senkrecht steht und die Länge p q hat. 
Klappt man die Ebene s von H nach II um, so fallen die Scheitel 
a°, b° von H° nach p und q. Die Punkte x° von H° ergeben sich sehr 
einfach als die umgeklappten' Bildpunkte x der Kreise x z durch p 
und q (vgl. Fig. 46). v ) Ist umgekehrt die gleichseitige Hyperbel H° 
gegeben, so schneiden die durch 
einen ihrer Punkte x° parallel zu 
den Asymptoten gelegten Gera 
den auf der Spur E von s 
Punkte x x , x 2 aus, die Gegen 
punkte des Bildzykels von x und 
des zu x bezüglich II symmetri 
schen Punktes sind. Diese 
Punktepaare x x x 2 bilden eine 
Involution mit dem Zentral- 
—2 
punkt m und der Potenz — ma = 
2 
= —mp . Denn die Punkte von 
H werden aus deren uneigent 
lichen Punkten durch projektive 
b Die damit gewonnene einfache Konstruktion von Punkten einer gleich 
seitigen Hyperbel (H°) aus ihren Scheiteln findet sich schon bei W. Fiedler, Cyklogr., 
Art. 60.