12. Kreisbüschel und Kreisbündel. Übungsaufgaben. 
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Strahlbüschel projiziert, die auf E projektive Punktreihen ausschneiden. 
Da zwei bezüglich E symmetrischen Punkten dasselbe Punktepaar auf 
E, nur in andrer Folge, entspricht, so liegen die Punktreihen involu- 
torisch. Läßt man x einmal ins Unendliche, einmal nach a rücken, so 
folgen die weiteren Aussagen über den Zentralpunkt und die Potenz. 
— Die Involution x x x 2 wird aus ft und q durch rechte Winkel pro 
jiziert ; die Kreise mit den Gegenpunkten x x x 2 gehen also durch ft 
und q. Als Umkehrung von Satz 1 gilt mithin der 
Satz 1 a: Jede gleichseitige Hyftcrbel H = (m, a) mit der Mitte m 
und der reellen Halbachsenlänge a, deren imaginäre Achse II angehört und 
deren Ebene zu II senkrecht steht, hat als zyklografthisches Bild ein Kreis 
büschel, dessen reelle Grundftunkte ft, q zur Hyfterbelehene symmetrisch liegen, 
m zur Mitte haben und die Entfernung 2 a besitzen. 
Da H die Bildebene in imaginären Punkten schneidet, hat das ent 
sprechende Kreisbüschel keine reellen Nullkreise, es ist also eilifttisch 
(vgl. Bd. I, Nr. 13). 1 ) 
Fragen wir nun nach dem zyklographischen Bild einer gleichseitigen 
Hyperbel H — (m, a), deren reelle Achse ab = 2 a in /7 liegt und deren 
Ebene s mit der Bildspur E — [ab] zu II senkrecht steht. Durch Um 
klappen von s in II gelange H nach H° (Fig. 47). Schneiden die durch 
einen Punkt x° von H° gelegten Parallelen zu den Asymptoten auf E 
das Punktepaar x x x 2 aus, so ist der über x x x 2 gezeichnete Kreis der 
Bildkreis x z von x und seinem bezüglich II symmetrischen Punkt. Da wieder 
die Punktepaare x x x 2 eine Involution bilden, deren Doppelpunkte jetzt die 
reellen Punkte a, b sind, für die also [a b x x x 2 ) =.—1 ist, so schneidet x" 
den Kreis K — (m, a) rechtwinklig. 
Die Potenz von x z in m ist a 2 . 
%f schneidet daher die imaginäre Achse 
von H° in konjugiert imaginären Punkten, 
die von m die Entfernung + i a haben. 
Durch sie gehen also alle Kreise xö. Um 
gekehrt hat jeder Kreis durch sie zyklo- 
graphische Bildpunkte, die H angehören. 
Daher gelten der 
Satz 2: Jede gleichseitige Hyfterbel 
H — (m, a) mit der Mitte m und der 
reellen Halbachsenlänge a, deren reelle Fig. 47. 
h Gegenüber der Benennung der drei Arten von linearen Zykelreihen erscheint 
die übliche Benennung der drei Arten von Kreisbüscheln folgewidrig. Man müßte 
eigentlich Büschel mit reellen Grundpunkten als hyperbolisch bezeichnen. 
Wir bleiben jedoch bei der üblichen Benennung der Kreisbüschel.