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In dem sphärischen Dreiecke AA,P, das durch die Seite 
AAj und die beiden Meridiane von A und A x gebildet wird, ist 
bekannt: 
die Seite A A< oder a, = 206265 -- 1 - Sek. 
r 
die Seite A P oder b — 90° — cp und 
der Winkel A,AP = 180° — a. 
Setzen wir nun wie früher den Winkel APA, — ¡u l , den Winkel 
AA,P — ß x — a' — 180°, und die Seite PAj = t' t = 90° — <p\ so 
liefern einige bekannte Formeln der sphärischen Trigonometrie fol 
gende zwei Gleichungen: 
cos fp tg cp 1 = sin cp cos pt x — sin /u i cotg a 
sin a cotg (a. x = cos cp cotg üj -f- si 11 <jP cos ci. 
Berechnet man nach dein Vorgänge von Gauss 1 den Hilfswinkel 
y> aus der Gleichung 
tg xp — tg a { cos a (317) 
und führt xp als bekannte Grösse in die folgenden Entwickelungen 
ein, so erhält man zunächst aus der vorletzten Gleichung: 
tg = tg a sin xp sec (cp — xfi) (318) 
und hierauf aus der ersten Grundgleichung, wenn man den Werth 
von tg fi i substituirt: 
tg cp 1 — cos tg (c/> — xfi) (319) 
Führt man noch einen zweiten Hilfswinkel % ein, welcher aus 
der Gleichung 
tg x = sin a sin flj tg (cp — xfj) .... (320) 
berechnet wird; setzt man die algebraische Winkelsumme 
cp — xp — cp 1 = er, (321) 
zieht tg cp 1 von tg (cp — xp) ab und berücksichtigt, dass cos cp‘ sin 
= sin a, sin «, so folgt nach kurzer Entwickelung 
sin er = tg / tg '/ 2 fi x cos (cp — xfi) . . . . (322) 
Zur Berechnung des Azimuths a 1 = 180° + ß x dient zunächst 
folgende aus den Neperschen Analogien entspringende Gleichung: 
tg 1 / 2 (« ~ ßd cos '/2 (qp # — <JP) = fc g 1 / 2 /“i sin V 2 W + fp)- 
Entwickelt man hieraus cotg (a — ß x ) und zieht davon cotg y 
ab, so wird 
sin y sin (a — ßß [cotg (a — ßß — cotg y] = sin (cc — ß { — y). 
1 Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie. Göttingen 1844. 
Bauernfeind, Vermessungskunde. II. u