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xp = m (1 -(- '/ 3 n 2 sin 2 I/O . 
(328) 
Setzt man den Winkel 
a — ß { — X = r C 323 ) 
und eliminirt mit Hilfe der vorausgehenden Gleichungen aus dem 
Ausdrucke für sin r alle Grössen bis auf a, cp und xp, so er 
gibt sich: 
sin t = sin a tg 1 / 2 p sin xp (324) 
Ist der Hilfswinkel r berechnet, so erhält man aus Gleichung 
(323) den Winkel 
ßx = ci — / — t (325) 
und damit das Azimuth 
a‘ = + 180° + « — / — r (326) ' 
Liefert diese Gleichung das gesuchte Azimuth der Linie AA X in 
dem Punkte A,, so erhält man aus Gleichung (321) die Breite jenes 
Punktes gleich 
rp 1 — cp — xp — a . (327) 
und aus Gleichung (322) den Längenunterschied fi x zwischen A 
und A[. Diese Formeln sind strenge richtig, aber die Bestim 
mung der in ihnen vorkommenden kleinen Bögen aus den Loga 
rithmen der Sinusse und Tangenten erheischt eine mühsame Inter 
polation, wesshalb man sie nicht unmittelbar anwendet, sondern 
mittelbar dadurch, dass man die trigonometrischen Functionen in 
Reihen entwickelt, wie im Nachstehenden an einigen dieser Formeln 
gezeigt wird. 
Setzt man nämlich 
p cos u — m und cp sin u = n 
und berücksichtigt, dass, wenn cp als Grösse erster Ordnung gilt, 
bis auf Grössen fünfter Ordnung genau 
tg \p = xp sin 1" (1 + Va p J ‘ l siiP 1") 
gesetzt werden darf, so folgt aus der Gleichung (324), wenn man 
für tg cp einen ähnlichen Werth substituirt: 
xp (1 -f ‘/ 3 xp 1 sin-1") = m (1 + 1 / 3 n/ 2 sin- 1"). 
Da nach derselben Gleichung sehr nahe cp = a t cos a = m, so 
darf man innerhalb der vorhin bezeichneten Genauigkeitsgrenze xp* = 
m 3 und desshalb 
cp = m [1 + V 3 (cp' 2 — m 2 ) sin' 2 1"] 
setzen. Nun ist aber in' 2 + n' 2 = p 2 , folglich tp' 2 — m 2 = n 2 und 
daher