§ 3. Lehrsatz III. 
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Man schreibe nämlich auch den beiden übrig gebliebenen 
Segmenten die gröfsten Dreiecke ADB und BEC ein. Dann 
ist (§1) das Dreieck 
ABC kleiner als das 
Vierfache jener bei 
den Dreiecke zusam 
mengenommen und 
man kann daher 
einen gewissen Flä- a 
C 
chenraum zu dem ~~~ — 
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Dreiecke ABC hin- j, ig 3 
zuzufügen, welcher 
mit diesem zusammen auch noch kleiner ist als das Vierfache 
jener Dreiecke ADB und BEC zusammengenommen. Dem 
entsprechend werde daher das anliegende Dreieck AEG so ge 
wählt, dafs der ganze Flächenraum AB CE kleiner sei als das 
Vierfache der Dreiecke ADB und BEC zusammengenommen 
Man denke sich nun in die übrig gebliebenen Segmente 
wiederum gröfste Dreiecke eingeschrieben, in die dann übrig 
bleibenden abermals u. s. f. bis die Segmente, denen mau zu 
letzt Dreiecke eingeschrieben hat, zusammengenommen kleiner 
sind als das Dreieck ACF, was sicherlich einmal eintritt. 
Dann werden auch diese zuletzt eingeschriebenen Dreiecke 
zusammengenommen kleiner als das Dreieck ACF sein. Nun 
ist der vierte Teil des Flächenraumes ABCF kleiner als die 
beiden Dreiecke ADB und BEC zusammengenommen, der 
vierte Teil dieser beiden wiederum kleiner als die vier Drei 
ecke zusammen, welche den übrig gebliebenen Segmenten ein 
geschrieben sind, und der vierte Teil dieser wiederum kleiner 
als die darauf folgenden u. s. w., wenn noch mehr Dreiecke 
eingeschrieben sein sollten. Es wird daher der Flächenraum, 
welcher sich zusammensetzt aus dem Vierecke ABCF und 
den übrigen eingeschriebenen Dreiecken, vermehrt noch um 
den dritten Teil derjenigen, welche zuletzt eingeschrieben worden 
sind, gröfser sein als ~ des Vierecks ABCF. Es ist näm 
lich von Archimedes bewiesen worden, dafs wenn irgend welche 
Flächenräume gegeben sind, von denen jeder folgende gleich 
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