Lambert. 
153 
1 
0 
+1- 
0 
1 
0 
T 
9 
~ Y 
+ 1 
4- - 
~ 2 
2 
Y 
« 
~ 2 
9 
23 
18 
2 
T 
23 
21 
131 
333 
262 
2 
4 
8 
333 
+ ¥ 
, 2715 
-k -g- 
. 6901 
' 16 
5430 
6901 
etc. 
etc. 
etc. 
etc. 
Und so wird die Tangente des Bogens v = durch jeden 
der Brüche y, etc. und zwar durch jeden fol 
genden dergestalt genauer ausgedrückt, dafs jeder kleinere Bruch 
minder genau ist. Da nun diese Reihe von Brüchen nirgends 
aufhört, sondern so an wächst, dafs endlich Nenner und Zähler, 
ohne gemeinsame Theiler zu haben, grösser werden als jede 
fürgegehene Zahl, so folgt, dafs die Tangente des Bogens v = — 
irrational sej. Eben dieses gilt auch für die Tangenten jeder 
Bögen, die = m sind, oder zum Halbmesser ein rationales 
Yerhältnifs haben. Zieht man die erstgefundene Brüche von 
einander ab, so erhält man für die Tangente des Bogens v — —- 
die Reihe 
+ 
8 
3723 
+ 
82 , 128 
23 . 333 ‘ 333 
6901 
-f- etc. 
welche ebenfalls stärker als jede geometrische Reihe convergirt 
und eine irrationale Summe hat. 
§ 15. 
Da demnach die Tangente eines jeden rationalen Bogens 
irrational ist, so ist hinwiederum auch der Bogen einer jeden 
rationalen Tangente irrational. Denn man setze, der Bogen 
wäre rational, so würde der Voraussetzung zuwider die Tan 
gente, vermöge des erst erwiesenen, irrational seyn.