Legendre. 
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gleich 1 ist, so reduziert sich der vorhergehende Ausdruck auf 
-—-—A . l/a, sodafs man ganz allgemein hat: 
e 2]/a + e -2 Va 
Hieraus lassen sich zwei Grundformeln aId e iten, je nach 
dem nämlich a positiv oder negativ ist. Ist zunächst 4a — x 2 , 
so folgt: 
Ist dagegen 4a = — x s , so wird man, auf Grund der be 
kannten Formel: 
— — i tg x erhalten: 
e ix 
7 — etc. 
Diese letztere Formel wird die Grundlage unseres Beweises 
bilden. Zunächst aber müssen noch die beiden folgenden 
Hülfssätze bewiesen werden. 
Hülfssatz I. 
Es sei der bis ins Unendliche fortgesetzte Ketten 
bruch gegeben: 
n -( m 
11 4 77 1 i 
n -f etc., 
in welchem die Zahlen in, n, m , n , etc. alle ganze 
positive oder negative Zahlen sind; setzt man ferner 
dafs die einzelnen Brüche —, r , etc. 
n 7 n 7 n 7 
voraus 
alle kleiner als die Einheit seien, so läfst sich zeigen, 
dafs der GesamtAvert des Kettenbruches notwendig 
eine irrationale Zahl sein mufs. 
Zunächst behaupte ich, dafs dieser Wert kleiner sei als 
die Einheit. In der That, ohne Beschränkung der Allgemein- 
n