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Legendre. 
heit kann man voraussetzen, dafs die sämtlichen Nenner n, 
n', n", etc. positiv seien. Nimmt man nun ein einziges Glied 
des gegebenen Bruches, so ist, nach Voraussetzung, ~<il. 
Nimmt mau die beiden ersten, so wird, da m r < 1 ist, n 4- — 
7 7 n 7 1 n 
greiser sein als n — 1; aber m ist kleiner als ??, und da beide 
ganze Zahlen sind, so wird auch m kleiner sein als n 4- —, • 
• n 
Also ist der aus den beiden ersten Gliedern gebildete Bruch: 
n T 
n 
kleiner als die Einheit. 
Nehmen wir drei Glieder des gegebenen Kettenbruches, 
so wird zunächst, zufolge des eben bewiesenen, der Wert des 
Teiles ^_r . m" kleiner sein als die Einheit. Bezeichnen wir 
n -| 77 
diesen Wert mit co, so ist klar, dafs 
n 4- oo 
auch noch kleiner 
sein wird als die Einheit; folglich ist auch der aus den drei 
ersten Gliedern gebildete Bruch: 
m 
n 4- 
m 
n" 
kleiner als die Einheit. Setzt man dieses Verfahren fort, so 
wird man finden, dafs, wie viele Glieder des gegebenen Ket 
tenbruches man auch berechnen mag, der daraus resultierende 
Wert stets kleiner ist als die Einheit; daher wird auch der 
Gesamtwert des bis ins Unendliche fortgesetzten Bruches kleiner 
sein als die Einheit. Nur in einem einzigen Falle könnte er 
der Einheit gleich sein, nämlich dann, wenn der gegebene Bruch 
von der Form: 
m 
/m 
m 4-1 
171 4" i 
4-1 — etc. 
wäre; in jedem anderen Falle aber ist er kleiner. 
Dies vorausgeschickt, wollen wir nun annehmen der Wert 
des gegebenen Kettenbruches sei keine irrationale Zahl, sondern 
er sei gleich der rationalen Zahl wo A und J3 irgend welche 
ganze Zahlen bedeuten. Man hat dann also: