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Legendre. 
Wert haben müssen. Es ist daher die Annahme hinfällig, 
dafs die Summe des gegebenen Kettenbruches einer rationalen 
JB 
Zahl gleich sei; diese Summe ist also notwendig eine 
irrationale Zahl. 
Hülfssatz II. 
Wenn, unter den gleichen Voraussetzungen, die 
einzelnen Brüche — 
tn m 
n' 7 n 
etc. am Anfänge der 
n 
Entwicklung einen beliebigen Wert haben, aber nach 
einem bestimmten Intervalle fortwährend kleiner als 
die Einheit sind, so wird der gegebene Kettenbruch, 
immer vorausgesetzt, dafs er sich bis ins Unendliche 
erstrecke, einen irrationalen Wert haben. 
Denn wenn beispielsweise von an alle die Brüche 
in'" m IV 
—777, —¡^r, —und so fort bis ins Unendliche, kleiner als die 
n n 
Einheit sind, so wird, nach dem ersten Hülfssatze, der Ketten 
bruch : 
einen irrationalen Wert haben. Nennen wir denselben co, so 
wird der gegebene Kettenbruch zu: 
m , 
—- , m ,, 
n -f- —— , m 
n 4 ^ 
n” -J- CO. 
Setzt man aber, der Reihe nach, 
so ist klar, dafs wenn to irrational ist, die Gröfsen co', co", to'" 
alle gleichfalls irrational sein müssen. Die letzte co"' aber ist 
gleich dem gegebenen Kettenbruche; also ist der Wert des 
selben irrational. 
Kehren wir zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück, 
so können wir jetzt den folgenden allgemeinen Satz beweisen: