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Legendre. 
Es ist wahrscheinlich, dafs die Zahl n nicht einmal unter 
den algebraischen Irrationalitäten enthalten ist, d. h. dafs sie 
nicht Wurzel sein kann einer algebraischen Gleichung mit einer 
endlichen Anzahl von Gliedern, deren Koeffizienten rational 
sind. Aber es scheint sehr schwer zu sein, diesen Satz strenge 
zu beweisen. Wir können nur zeigen, dafs auch noch das 
Quadrat von it eine irrationale Zahl ist. 
In der That, wenn man in dem Kettenbruche, durch 
welchen tg x ausgedrückt wird, x = n setzt, so wird man, 
wegen tg 7t 
0, erhalten: 
0 = 3 — ^ 
— etc. 
Wenn nun 7t 2 rational wäre und man hätte 7t 2 = 
und n ganze Zahlen sind, so würde folgen: 
3 
wo m 
m 
bn — 
m 
— 
m 
9 n 
m 
ir 
etc. 
Aber offenbar ist dieser Kettenbruch wieder so, wie ihn 
der zweite Hülfssatz voraussetzt, sein Wert ist also irrational 
und kann nicht gleich der Zahl 3 sein. Folglich ist das 
Quadrat des Verhältnisses der Kreisperipherie zum 
Durchmesser eine irrationale Zahl.