§ 2. Genaue mathematische Formulierung des Problèmes. 
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für die Möglichkeit der Quadratur des Zirkels darin besteht, 
dafs man imstande sei, aus einer gegebenen Strecke d die 
Strecke u — nd zu konstruieren. Um diese Aufgabe aber zu 
einer unzweideutig bestimmten zu machen, ist zunächst not 
wendig, anzugeben, was hier unter „konstruieren“ und „Kon 
struktion“ gemeint ist. 
Ein grofser Teil der planimetrischen Konstruktionsauf 
gaben (wie z. B. die Verwandlung eines beliebigen Polygones 
in ein inhaltsgleiches Quadrat) kann gelöst werden durch aus- 
scbliefslicbe Kombination der beiden folgenden Elementar 
aufgaben: 
1) Durch zwei gegebene Punkte eine gerade Linie 
zu ziehen; 
2) Um einen gegebenen Punkt mit einem gegebe 
nen Radius einen Kreis zu beschreiben. 
In der That, wenn man sich etwa überlegt, wie ein Polygon 
in ein inhaltsgleiches Quadrat verwandelt wird, so geschieht dies 
doch, indem man einfachere, als bereits gelöst vorausgesetzte 
Aufgaben zur Anwendung bringt (wie etwa durch einen 
gegebenen Punkt zu einer gegebenen Geraden eine Parallele 
zu ziehen). Diese stützen sich wiederum auf noch einfachere 
u. s. f., bis mau schliefslich zu den beiden genamiten Elementar 
aufgaben gelangt, aus deren wiederholter Anwendung alle bei 
der ursprünglich gegebenen Aufgabe auszuführenden Konstruk 
tionen sich zusammensetzen. Jene beiden Elementaraufgaben 
lassen sich nicht auf einfachere zurückführen, sie werden viel 
mehr in der Planimetrie als gelöst vorausgesetzt: die erste 
wird durch Benutzung des Lineals, die zweite durch Benutzung 
des Zirkels ausgeführt. Mit Rücksicht darauf, dafs die Lösung 
dieser beiden Elementaraufgaben von der Planimetrie nicht 
gegeben, sondern vielmehr als bereits vollzogen gefordert wird, 
werden dieselben auch Postulate genannt. 
Unter „konstruieren“ soll nun hier allemal „mit 
alleiniger Benutzung von Zirkel und Lineal kon 
struieren“ verstanden werden. Die Frage nach der Möglich 
keit der Quadratur des Zirkels soll also bedeuten: Ist es 
möglich, durch ausschliefsliche Kombination der bei 
den genannten Elementaraufgaben, also mit alleiniger