§ 3. Charakteristik der verschiedenen Epochen etc. 
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umgescliriebenen Polygone — mit andern Worten, die von 
den griechischen Mathematikern begründete Methode der geo 
metrischen Exhaustion bildet den Mittelpunkt der auf unser 
Problem bezüglichen wissenschaftlichen Untersuchungen dieses 
Zeitraumes. Archimedes und Huygens sind die bedeutend 
sten Vertreter desselben: Jener hat die Methode der einge 
schriebenen und umgeschriebenen Polygone mathematisch be 
gründet, dieser dieselbe zu demjenigen Grade der Vollendung 
gebracht, der mit elementaren Hülfsmitteln noch erreichbar war. 
Der zweite Zeitraum umfafst die Zeit von der Erfin 
dung der Differenzial- und Integralrechnung bis zum Jahre 
1766, d. h. bis zum Entstehungsjahre der grundlegenden Ab 
handlung Lambert’s. Kaum ein Jahrhundert zwar, aber das 
Jahrhundert von Newton, Leihnitz, den Bernoulli’s und 
Leonhard Euler! An die Stelle der geometrischen Methode 
der Alten treten die unerschöpflichen Hülfsmittel der neu 
begründeten Analysis, welche, wenn auch ihrem Wesen nach 
in der Exhaustionsmethode wurzelnd, doch dem Probleme von 
der Quadratur des Zirkels ein gänzlich verändertes Aussehen 
gab und der darauf bezüglichen Forschung völlig neue, vorher 
nie geahnte Bahnen eröffnete. 
Handelte es sich in dem ersten Zeiträume vorzugsweise 
darum, die Zahl tc so genau als nur irgend wünschenswert 
numerisch zu berechnen, also die näherungsweise Quadratur 
des Zirkels mit jeder nur denkbaren Genauigkeit auszuführen — 
eine Aufgabe, welche in diesem Zeiträume seihst für die sub 
tilsten Anforderungen der Wissenschaft wie der Praxis voll 
ständig gelöst worden ist — so war vielmehr der zweite Zeit 
raum fast ausschließlich durch das wesentlich theoretische 
Literesse beherrscht, die Zahl % durch analytische Ausdrücke, 
denen eine unendliche Reihe von Operationen zu Grunde lag, 
darzustellen. 
Im Gegensätze zu diesen beiden Zeiträumen kann der 
dritte als der kritische bezeichnet werden: Nicht mehr die 
Frage nach der Gröfse oder nach der analytischen Darstellung 
der Zahl % war es, welche die Mathematiker in erster Linie 
beschäftigte, sondern vielmehr, welcher Art, welcher Natur 
diese merkwürdige Zahl sei, ob rational oder irrational, ob