§ 7. Die Araber und die christlichen Völker des Mittelalters. 23 
er, als der Erste, die Tangente in die Trigonometrie ein und 
berechnete für r — 60 eine Tangententafel. Dabei definiert 
er die neue Winkelfunktion so: „Die umbra eines Bogens ist 
eine Linie, welche von dem Anfangspunkte des Bogens parallel 
dem Sinus geführt wird, in dem Intervalle zwischen diesem 
Anfänge des Bogens und einer von dem Mittelpunkte des Kreises 
nach dem Ende des Bogens gezogenen Linie. ... So ist die 
umbra die Hälfte der Tangente des doppelten Bogens, welche 
enthalten ist zwischen den zwei Geraden, welche vom Mittel 
punkte des Kreises nach den Endpunkten des doppelten Bo 
gens geführt werden.“ Mit Leichtigkeit weifs er sodann alle 
die Relationen abzuleiten, welche zwischen den Funktionen 
sin cp, cos cp, tg cp, ctg cp, sec cp, cosec cp bestehen*). 
Unter den übrigen arabischen Mathematikern, die sich um 
die Ausbildung der Trignometrie verdient gemacht haben, er 
wähnen wir noch Ihn Jünus von Kairo (gest. 1008), nament 
lich aber den im 11. Jahrhundert in Sevilla lebenden Ibn 
Aflah, auch Geber genannt, der die nach ihm benannte Fun 
damentalformel cos ß — cos h sin a für das rechtwinklige sphä 
rische Dreieck (Geber’scher Lehrsatz) zuerst aufstellte und sich 
überdies von allen übrigen arabischen Astronomen dadurch 
unterschied, dafs er zu den von ihm aufgestellten Sätzen voll 
ständige Beweise gab**). 
Wenden wir uns nunmehr zu den Völkern des christ 
lichen Mittelalters, so können wir über die Zeit von der 
Völkerwanderung bis zum Ausgange des 10. Jahrhunderts mit 
Stillschweigen hinweggehen. Nicht nur hat das Problem von 
der Quadratur des Zirkels keinerlei Fortschritte aufzuweisen, 
sondern es ist überhaupt in dieser Zeit bei den christlichen 
Völkern des Abendlandes von mathematischer Forschung nicht 
viel die Rede. War doch die gelehrte Bildung dieser Zeit eine 
wesentlich lateinische und daher auch die Kenntnis der Mathe 
matik ausschliefslich abhängig von der, wie wir gesehen haben, 
sehr unbedeutenden mathematischen Bildung der Römer! Erst 
*) Hankel, pag. 280—285; Cantor I., pag. 632—642; Wolf I., pag. 
165—169. 
**) Hankel, pag. 285—287.