§ 9. Yon dem Ausgange der Renaissancezeit etc.
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Beispiel der Darstellung einer Zahl durch ein unend
liches Produkt*).
Aufser dieser Formel für den Flächeninhalt hat Yieta
aber auch noch, „indem er den Spuren des Archimedes folgte“,
mittels eingeschriebener und umgeschriebener Polygone, mit
dem Sechseck beginnend und mit dem 2 1(i -6-Eck abschliefsend,
die durch den folgenden Satz bestimmten engen Grenzen für
die Zahl tc gegeben**): Setzt man den Durchmesser eines Kreises
26 535
gleich 100 000, so ist sein Umfang gröfser als 314 159 10() 00() ,
aber kleiner als 314 159^°^ • Yieta gab also die Zahl n
auf 9 Dezimalen richtig an***).
*) Dafs das in der Vieta’schen Formel yorkommende unendliche
Produkt absolut konvergent ist, habe ich im 36. Bande der Zeitschrift
für Math. u. Phys., Hist.-litt. Abt. („Über die Konvergenz einer von
Yieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung“) folgendei 1 -
mafsen nachgewiesen. In der Abhandlung: „Variae observationes circa
angulos in progressione geometrica progredientes“ (Opuscula anal. I.,
pag. 346) hat Euler, wohl ohne Kenntnis der Vieta’schen Formel, für
den Kreisbogen s die Formel s — (sO)
cos — • cos — • cos — • cos — • • •
aufgestellt, welche für s = — mit der Vieta’schen identisch wird.
Nun
ist aber das Produkt P = £ cos ~ = J ^ — 2 sin 2
lut konvergent, weil, wie leicht eingesehen wird, die Summe
abso-
2 sin 2
2 V + 1
konvergiert. Für die logarithmische Berechnung von n ist die Vieta’sche
Formel wegen ihrer starken Konvergenz sehr bequem. — Mit der Produkt-
arcsin x
entwicklung von
und verwandten Punktionen hat sich auch,
anscheinend ohne die Arbeiten von Vieta und Euler gekannt zu haben,
Herr Seidel beschäftigt in der Abhandlung: „Über eine Darstellung des
Kreisbogens, des Logarithmus und des elliptischen Integrales I. Art
durch unendliche Produkte“ (Grelle, Bd. 73), auf welche Herr Stickel
berger mich aufmerksam zu machen die Güte hatte.
**) Vietae Opera, pag. 392.
***) Kurz erwähnt seien hier auch noch die Verdienste, die sich
Vieta um die Ausbildung der Trigonometrie, insbesondere der sphäri-
