§ 10. Die Begründung der neuen Analysis etc. 
Eine andere, allerdings wenig einfache Darstellung ver 
öffentlichte der oben erwähnte Gregory, indem er für die 
Kreisfläche den Ausdruck: 
4 r 2 
113400 d 
initteilte, in welcher r den Radius, d die Hälfte der Seite des 
eingeschriebenen Quadrates bedeutet und e — r — d ist*). 
Die eigentliche Quelle aber der folgenden Untersuchungen 
über die Kreismessung bildete die zuerst von Gregory (1670) 
und dann, von diesem unabhängig, von Leibnitz (1673) ge 
fundene Reihe, welche den zu einer gegebenen trigonometri 
schen Tangente x gehörigen (durch den Radius gemessenen) 
Bogen arctg x darstellt, nämlich: 
arctg x = x — — + : 5 ? 
Indem wir uns dieser modernen Schreibweise bedienen, 
dürfen wir übrigens nicht aufser Acht lassen, dafs es zur Zeit 
von Gregory noch nicht üblich war, den Bogen durch den 
Radius zu messen und dafs man unter der Tangente eine 
Linie, nämlich den Abschnitt auf der Berührungslinie und 
nicht das Verhältnis dieses Abschnittes zum Kreisradius, ver 
stand. Bezeichnet man daher die Länge der drei Linien, näm 
lich des Radius, des Bogens und der Tangente, resp. mit r, a und 
t, so lautet in der alten Schreibweise die Gregory’sehe Reihe: 
lj_ , 
3r 2 ' br* 7 r 6 ' 
Setzt man in der obigen Reihe, durch welche arctg x durch 
die Tangente x ausgedrückt ist, x = 1, also arctg x — 
erhält man die sogenannte Leibnitz’sche Reihe: 
-- = 1 — — 4- — — — -f — -J 
4 3 ' 5 7 ' 9 11 1 
Entwicklungen nachgewiesen. 
auch die Wallis’sche Formel durch Entwicklung von sin und cos ^ 
2 n 2 n