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Drittes Kapitel. 
die Ausdrücke sin 2, cos 2, etc. einen ganz anderen Charakter: sie 
wurden analytische Gröfsen, Functionen von 2. So ist Euler 
als der Schöpfer der trigonometrischen Funktionen zu be 
zeichnen. Die veränderte Anschauung aber, die Euler den 
trigonometrischen Ausdrücken entgegenbrachte, führte ihn zu 
einer seiner schönsten Entdeckungen. Denn zu diesen gehört 
unstreitig die Entdeckung des Zusammenhanges der 
trigonometrischen Funktionen mit der Exponential 
funktion. Dieser Zusammenhang findet seinen Ausdruck in 
den Gleichungen: 
e iz +e -iz , e iz _ e -iz 
cos 0 = , si 112 = 
insofern e s die durch die beständig konvergierende Potenzreihe: 
e* = 1 -f- iL 4- — 4- ?1 J- . . . 
definierte Exponentialfunktion bedeutet*). Welche Umge 
staltung die gesamte Analysis durch diese wichtige Euler’sche 
Entdeckung erfuhr, dies zu schildern ist hier nicht am Platze. 
Hervorgehoben aber mufs werden, dafs die Euler’s eben 
Formeln: 
e iz , e -iz _ e iz _ -iz 
COS 2 — , Sill 2 — ¡rr ; 
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welche mau auch schreiben kann: 
e iz = cos 2 -f- i sin 2, e~~ iz = cos 2 — i sin 2, 
den Ausgangspunkt aller folgenden Untersuchungen über die 
Natur der Zahl n bildeten. Setzt man in denselben 2 = 7t, 
so erhält man: 
e in = — 1 oder e 2ni — 1. 
Diese zwischen den beiden Zahlen 
e = 2,718281828459045... und n = 3,141592053589793 ... 
besteh ende fundamentale Relation ent hält den Schlüssel 
für die Lösung der Frage nach der Möglichkeit der 
Quadratur des Zirkels. 
Es würde uns zu weit führen, wollten wir auf die vielen 
interessanten Darstellungen eintreten, wie beispielsweise: 
: ) Introductio in analysin infiuitormn, I., pag. 104.