§ 13. Die Entdeckungen Liouville’s. 
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sagten, dafs diese Zahlen nicht Wurzeln gewisser algebraischer 
Gleichungen mit rationalen Koeffizienten seien, so war damit 
die Frage aufgeworfen, von welchen algebraischen Gleichungen 
dieser Art denn überhaupt e und ti Wurzeln sein könnten. 
Nun hatte sich zwar bei den Mathematikern schon lange 
die Überzeugung gebildet, dafs e und 7t wohl überhaupt nicht 
Wurzeln algebraischer Gleichungen mit rationalen Koefficienten 
sein möchten, in ähnlicher Weise, wie man ja auch an die 
Irrationalität von n fest glaubte, lange bevor dieselbe wirklich 
bewiesen war. Schon Euler giebt jener Überzeugung Aus 
druck in der Abhandlung: „De relatione inter ternas pluresve 
quantitates instituenda“ (Opuscula analytica II, pag. 98) und 
noch deutlicher Legendre in dem bemerkenswerten Satze (siehe 
den Schlufs seiner Abhandlung): 
„Es ist wahrscheinlich, dafs die Zahl n nicht ein 
mal unter den algebraischen Irrationalitäten enthalten 
ist, d. h. dafs sie nicht Wurzel sein kann einer alge 
braischen Gleichung mit einer endlichen Anzahl von 
Gliedern, deren Koeffizienten rational sind. Aber es 
scheint sehr schwer zu sein, diesen Satz strenge zu 
beweisen.“ 
In ähnlicher Weise spricht sich auch Lambert aus in 
seiner oben (pag. 56) erwähnten Akademieabhandlung, indem 
er diese auf e und 7t bezügliche Vermutung geradezu zu einem 
Satze formuliert und zum Beweise desselben auffordert. 
Aber trotzdem besafsen doch alle diese Vermutungen in 
sofern eine geringer«* Berechtigung als die in früheren Zeiten 
auf die Irrationalität von 7t bezüglichen, als man bis zur Mitte 
unseres Jahrhunderts noch gar kein Beispiel dafür kannte, dafs 
es überhaupt Zahlen gäbe, die nicht Wurzeln irgend einer al 
gebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein könnten. 
Liouville war der erste, der hierfür einen strengen Be 
weis lieferte, indem er Zahlen von einfachem Bildungsgesetze 
herstellte, von denen sich nach weisen liefs, dafs sie keiner al 
gebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen. 
Als ein solches Beispiel führt er unter anderen eine Zahl an, 
die ein ganz ähnliches Bildungsgesetz besitzt wie die Basis 
der natürlichen Logarithmen, nämlich: