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Viertes Kapitel.
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Bedeuten hierin l, ... ganze Zahlen und wächst l m hin
reichend rasch mit dem Index m, so läfst sich zeigen, dafs x
nicht Wurzel einer algebraischen Gleichung mit rationalen
Koeffizienten sein kann*).
Seit dieser wichtigen Liouville’schen Entdeckung ist man
berechtigt, alle Zahlen in algebraische und in transzen
dente einzuteilen, während man früher nur von rationalen und
irrationalen Zahlen sprechen konnte. Unter einer algebrai
schen Zahl versteht man jetzt, nach der von Kronecker ein-
geführten Terminologie, jede Zahl x, welche Wurzel einer al
gebraischen Gleichung ist, d. h. einer Gleichung von der Form:
x n + c x x n ~ x -f- c 2 x n ~ 2 -f- ■ • • -j- c n = 0,
in welcher die Koeffizienten c x , c. 2 , . . . c n sämtlich rationale
Zahlen sind, während der höchste Koeffizient immer gleich 1
vorausgesetzt wird. Sind überdies diese Koeffizienten sämtlich
ganze rationale Zahlen, so heifst x eine ganze algebraische Zahl.
Unter einer transzendenten Zahl versteht man jede
nicht algebraische Zahl**).
Es war daher jetzt die Frage zu entscheiden, ob die Zahlen
e und 7t algebraische oder transzendente seien. *
*) Liouville’s Journal XVI. (1851): „Sur des classes très-étendues de
quantités dont la valeur n’est ni algébrique ni même réductible à des
irrationnelles algébriques“. Die Hauptsätze dieser Abhandlung hatte
Liouville schon 1844 in den Comptes rendus XVIII., pag. 883 und 910
mitgeteilt.
Einen anderen Beweis für die Existenz transzendenter Zahlen gab
später Herr G. Cantor in der Abhandlung: „Über eine Eigenschaft des
Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen“, (Grelle, Bd. 77.)
**) Den Kriterien, welche den transzendenten Charakter einer nach
einem gegebenen Bildungsgesetze entwickelten Zahl bestimmen, stehen
sehr bemerkenswerte Kriterien gegenüber, durch welche man nach
Eisenstein (Berichte der Berl. Akad. 1852) entscheiden kann, ob ge
gebene Reihenentwicklungen mit rationalen Koeffizienten aus algebrai
schen oder transzendenten Funktionen hervorgegangen sind. Siehe die
Besprechung meiner wiederholt genannten historischen Skizze durch
Herrn Cantor (Zeitschr. für Math, und Physik Bd. 36).
