§ 14. Algebraische Formulierung des Problems etc. 
Gl 
§ 14. Algebraische Formulierung des Problems von der 
Quadratur des Zirkels. 
Um den Zusammenhang des Problemes von der Quadratur 
des Zirkels mit der Frage, oh n eine algebraische oder eine 
transzendente Zahl sei, zu erkennen, müssen wir einige Hülfs- 
betrachtungen einschieben. 
Die Möglichkeit der Quadratur des Zirkels war, wie wir 
(pag. 7) erkannt hatten, gleichbedeutend mit der Möglichkeit, 
aus einer gegebenen Strecke d die Strecke nd durch alleinige 
Benutzung von Zirkel und Lineal zu konstruieren. Wählt man 
der Einfachheit halber d als Längeneinheit, so handelt es sich 
also um die Konstruktion einer Strecke von % Längeneinheiten. 
Da nach Festsetzung der Längeneinheit jeder Zahl x eine ganz 
bestimmte Strecke (von x Längeneinheiten) und umgekehrt 
jeder Strecke (von x Längeneinheiten) eine ganz bestimmte 
Zahl x entspricht, so wollen wir zur Abkürzung von der Kon 
struktion der Zahl x sprechen und meinen damit die Kon 
struktion der entsprechenden Strecke von x Längeneinheiten. 
Nun ist aus der Planimetrie bekannt, dafs, wem die Koeffi 
zienten einer quadratischen Gleichung als konstruierbar vor 
ausgesetzt werden, auch die Wurzeln der Gleichung konstruiert 
werden können, wo unter „konstruieren“ immer „mit Zirkel 
und Lineal konstruieren“ verstanden ist. Aus diesem Grunde 
sind die Wurzeln einer jeden quadratischen Gleichung mit ra 
tionalen Koeffizienten, wie z. B. |/2, konstruier bar. Bezeichnet 
man für den Augenblick die Wurzeln solcher Gleichungen als 
Irrationalitäten erster Art, so erkennt mau, dafs sich jetzt auch 
die Wurzeln einer jeden quadratischen Gleichung konstruieren 
lassen, deren Koeffizienten als einzige Irrationalitäten solche 
erster Art enthalten, denn es sind eben die Koeffizienten einer 
solchen quadratischen Gleichung konstruierbare Zahlen. Nennt 
man die Wurzeln solcher Gleichungen kurz Irrationalitäten 
zweiter Art, so ergiebt sich jetzt, dafs auch die Wurzeln jeder 
quadratischen Gleichung konstruierbar sind, deren Koeffizienten 
als einzige Irrationalitäten solche erster und zweiter Art ent 
halten u. s. f. 
Es sei daher jetzt eine Kette von quadratischen Gleichungen