ersten Gleichung seien rationale Zahlen, während die Koeffi 
zienten jeder folgenden Gleichung nur solche Irrationalitäten 
enthalten, die sich aus der Auflösung der vorhergehenden Glei 
chungen ergeben. Daun kann man successive die Wurzeln einer 
jeden dieser Gleichungen, also auch der letzten, konstruieren. 
Man sieht also; Damit eine Zahl konstruierbar sei, ist hin 
reichend, dafs sie sich als Wurzel einer quadratischen Glei 
chung darstelle, welche das letzte Glied einer Kette von qua 
dratischen Gleichungen der bezeichueten Art bildet. 
Aber diese Bedingung ist nicht nur hinreichend, sie ist 
auch notwendig für die Konstruierbarkeit einer Zahl. Denn 
da jede Konstruktion nichts anderes ist als eine Kombination 
der beiden Elementaraufgaben, eine gerade Linie durch zwei 
gegebene Punkte zu ziehen und um einen gegebenen Punkt 
mit einem gegebenen Radius einen Kreis zu beschreiben, und 
da andererseits gerade Linien und Kreise analytisch durch 
Gleichungen des ersten und zweiten Grades ausgedrückt wer 
den, so wird eine Konstruktion durch Zirkel und Lineal ana 
lytisch sich durch eine Kette von quadratischen Gleichungen 
ausdrücken lassen, insofern man lineare Gleichungen ja auch 
als spezielle quadratische auffassen kann. Da überdies jede bei 
der Konstruktion auszuführeude Elementaraufgabe nur solche 
Elemente zu benutzen braucht, die durch die vorher gelösten 
Elementaraufgaben bereits konstruiert worden sind, so wird 
auch jede der auftretenden Gleichungen in ihren Koeffizienten 
nur solche Irrationalitäten enthalten, welche sich durch Auf 
lösung der vorhergehenden quadratischen Gleichungen ergeben. 
Daraus folgt also, dafs jede durch Zirkel und Lineal kon 
struierbare Zahl sich als Wurzel einer quadratischen Gleichung 
mufs darstellen lassen, welche das letzte Glied einer Kette von 
quadratischen Gleichungen der bezeichueten Art bildet. 
Nun läfst sich aber eine solche Kette von quadratischen 
Gleichungen stets ersetzen durch eine einzige algebraische Glei 
chung mit rationalen Koeffizienten, dadurch dafs man die in 
der letzten Gleichung auftretenden Irrationalitäten, welche ja 
Wurzeln der vorhergehenden Gleichungen sind, mit Hülfe dieser 
letzteren successive eliminiert. Auf diese Weise gewinnt man