nur in dem Falle, wo X,, X 2 , 
Null haben, bestehen.“ 
In diesem fundamentalen Satze ist der transzendente Cha 
rakter der beiden Zahlen e und it gleichzeitig zum Ausdruck 
gebracht. 
Von ganz besonderem Interesse aber ist der von Herrn 
Linderaann heryorgehobene Spezialfall, der sich ergiebt, wenn 
man 
r — 2, X x = — 1, x 2 — 0, x x — x und X 2 — X 
setzt. 
Es folgt dann, dafs die Gleichung e x = X nicht bestehen 
kann, wenn x, X beide algebraische Zahlen sind und zugleich 
x einen von Null verschiedenen Wert hat und mau erhält die 
wahre Verallgemeinerung des Lambert’scheu, auf die 
Zahl e bezüglichen Satzes, nämlich: 
„Die Bxponentialgröfse e x ist stets eine trans 
zendente Zahl, wenn x eine von Null verschiedene 
algebraische Zahl ist.“ 
„Der natürliche Logarithmus einer algebrai 
schen Zahl X ist immer eine transzendente Zahl, 
wenn X nicht den Wert 1 hat.“ 
Diese beiden, von Herrn Liudemann besonders hervorge- 
hobeneu Sätze gehören, wie Herr Weierstrafs bemerkt, zu den 
schönsten Sätzen der Arithmetik. 
Aber auch nach der geometrischen Seite hin liefert das 
allgemeine Lindemauu’sche Theorem reiche Ausbeute. Setzt 
mau nämlich, mit Herrn Weierstrafs, 
r — 3, X, = i, X 2 == — i, x 2 — — x 1; x 3 = 0 
und schreibt für x 1} X für X 3 , so ergiebt sich, dafs die 
Gleichung: 
2 sin 
nicht bestehen kann, wenn x, X beide algebraische Zahlen sind