Archimedes. 
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Man teile den Winkel BAG durch AD in zwei gleiche 
Teile. Da der Winkel DAD gleich dem Winkel DGB, aber 
auch gleich dem Winkel DAG ist, so ist auch der Winkel 
DGB gleich dem Winkel DAG. 
Ferner ist gemeinschaftlich 
der rechte Winkel ADC. Daher ist auch der dritte Winkel 
DFG dem dritten Winkel ACD gleich. Folglich ist das Dreieck 
ADC dem Dreiecke CDF winkelgleich. Es verhält sich dem 
nach AD zu DG wie CD zu DF und wie AG zu CF. Aber 
wie sich AG zu CF verhält, so verhalten sich auch CA und 
AB zusammengenommen zu BC*). Und wie sich folglich 
CA und AB zusammengenommen zu BC verhalten, so verhält 
sich AD zu DG. Infolge dessen hat also AD zu DG ein 
kleineres Verhältnis als 2911 zu 780 und AG zu CD ein klei 
neres als 3013 ' zu 780**). 
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Man teile den Winkel CAD durch AH in zwei gleiche 
Teile. 
Dann hat aus genau demselben Grunde AH zu HC ein 
kleineres Verhältnis als 5924 zu 780 oder als 1823 zu 240, 
denn diese beiden sind — der andern. 
Daher verhält sich AG 
zu CH (nahezu) wie 1838 9 - zu 240***). 
*) Da nämlich in dem Dreiecke ABC der Winkel A durch AF 
halbiert wird, so ist 
AG : CF = AB : BF = (GA + AB) : (BF + FC). 
**) Es war AC: CB = 1560 : 780 und A B : BC < 1351 
Folglich ist (CA + AB) : BC< 2911 : 780 und daher auch 
AB : BG < 2911 : 780. 
Aus AB 2 : BC 2 < 8473921 : 608400 folgt dann 
* (AB 2 -j- BC 2 ) : BC 2 < 9082321 : 608400 
d. h. AC 2 : CB 2 < 9082321 : 608400, also erst recht 
780. 
AC : CB < 3013— : 780, 
da (3013- 
9082689— 
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ist. Damit ist für das Verhältnis des Durchmessers zu der Seite des 
eingeschriebenen Zwölfecks eine obere Grenze gefunden. 
***) Auf genau demselben Wege, auf dem die Proportion 
(GA + AB) : BC = AB : BC 
abgeleitet wurde, erhält man (CA -f- AB) : BC — AH : HC, also