Kongruenz und Messung. 
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auf den zweiten Paragraphen des dritten Abschnitts (B. 1. S. 168), 
wonach dies Resultat nicht richtig ist, wofern man nicht voraus 
setzt, dafs die Zuwendung stetig sein soll. Eingehender handelt 
von der Darstellung der Punkte einer Mannigfaltigkeit durch Wert 
systeme (Koordinaten) eine soeben erschienene Arbeit des Herrn 
Burkhardt. 1 ) 
2. Die Voraussetzung, welche Riemann an die Spitze des 
zweiten Abschnitts stellt, dafs jede Linie durch jede andere mefsbar 
sei, ist unzulässig. Denn, wie man aus den Darlegungen des 
dritten Paragraphen im dritten Abschnitt (B. 1. S. 172) folgern 
kann, giebt es in jeder zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit 
Linien, deren Länge nicht gemessen werden kann. Indessen hat 
dieser Umstand, der Riemann selbst wenigstens später bekannt 
gewesen ist, für die Arbeit selbst keinen Belang, da nur Linien 
betrachtet werden, die in ihrer analytischen Darstellung gewissen 
Bedingungen genügen und deshalb mefsbar sind. Dagegen scheint 
mir ein anderer Punkt von gröfserer Bedeutung zu sein. Riemann 
selbst sagt im ersten Abschnitt seiner Abhandlung (I, 1): »Das 
Messen besteht in einem Aufeinanderlegen der zu vergleichenden 
Gröfsen; zum Messen wird also ein Mittel erfordert, die eine 
Gröfse als Mafsstab für die andere fortzutragen.« Hiernach ist 
das Messen keine Grundoperation der Geometrie, indem es eine 
andere Operation, nämlich die Bewegung, benutzt. Da Riemann 
diese Überzeugung hatte, durfte er auch nicht vom Ausdruck für 
das Linienelement ausgehen, sondern mufste allgemeine Gesetze 
für die Bewegung aufstellen, diese in eine analytische Form 
bringen und darauf seine weitere Entwicklung stützen. Bei dem 
Wege, den Riemann einschlägt, sind wir nicht sicher, dafs die 
an sich willkürlich angenommene Form des Linienelementes mit 
den Gesetzen der Bewegung vereinbar ist. 
3. Riemann will den ganzen Inhalt der Geometrie aus dem 
Begriffe des Linienelementes herleiten, und es ist nachträglich 
vielfach als sein besonderes Verdienst gerühmt worden, dafs er 
die gesamte Geometrie auf ein einziges Princip zurückgeführt 
habe. Das ist aber etwas durchaus Unmögliches: denn die Ana 
lysis kann über einen ihr gegebenen Begriff nicht hinausgehen, 
die Geometrie bedarf aber noch weiterer Begriffe, welche von 
dem der Länge einer Linie wesentlich verschieden sind. Sie