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4* Die gegebene Lösung, die im vorliegenden Fall lediglich auf ein
Basisnetz angewendet werden wird, und allein aus der praktischen Frage
nach der besten Einrichtung eines solchen hervorgegangen ist, dürfte auch
bei Untersuchungen über die Konfiguration und Anordnung anderer Arten
von Dreiecksnetzen von grofsem Nutzen sein. Ihre Anwendbarkeit auf
Ernstfälle wird wesentlich durch den Umstand begünstigt, dafs in der
Regel schon die Erkundung im Felde keinen Zweifel mehr über die
durch Terrainschwierigkeiten ohnehin sehr beschränkte Wahl der Dreiecks-
punkte läfst, und dafs daher nur noch die in unserer Aufgabe gestellte
Frage zu beantworten übrig bleibt: wie oft soll jeder Winkel, den sämmt-
liche durch die Erkundung als vorhanden konstatirte Richtungen
zwischen den bereits feststehenden Dreieckspunkten mit einander machen,
beobachtet werden?
5. Unsere Aufgabe ist durch die gegebene Lösung auf eine andere
zurückgeführt, deren Lösung bekanntlich das. von Laplace aufgestellte
Prinzip der Fehlervertheilung verlangt"), nämlich auf die Aufgabe: die
Absolutsumme gegebener linearer Ausdrücke, deren Anzahl gröfser ist,
als die Anzahl der darin enthaltenen Veränderlichen, so klein wie möglich
zu machen. Diese Aufgabe widerstrebt der mathematischen Behandlung,
weil sie sich dadurch, dafs sie zwei gleich grofse, aber entgegengesetzte
Werthe einander gleich setzt, vom Gesetz der Stetigkeit lossagt. Sie ist
in den aus unserer Aufgabe hervorgehenden Fällen fast immer unbestimmt,
indem es in der Regel unendlich viele Werthsysteme der. Korrelate gibt,
welche die möglich kleinste Absolutsumme der L liefern. Es läfst sich
indessen beweisen, dafs unter diesen Werthsystemen in jedem Falle
mindestens eines ist, für welches ebenso vi.ele von einander unabhängige L * 70 )
verschwinden, wie Korrelate oder Bedingungsgleichungen vorhanden sind. 71 )
Da die den verschwindenden L entsprechenden Richtungen bezw. Winkel
— gemäfs der Lösung unserer Aufgabe — das Gewicht Null erhalten,
d. h. unbeobachtet bleiben, so verschwinden für ein solches Werthsystem
sämmtliche Bedingungsgleichungen. Es giebt daher in jedem Falle
mindestens eine Lösung mit nicht mehr zu beobachtenden Winkeln, als zur
Bestimmung sämmtlicher Punkte des Netzes erforderlich sind. Der einer
solchen Lösung entsprechende Werth von u ist nicht nur der plausibelste,
09) Vergl. die GAUSS’schen Werke: „Theoria niotus corpörum coelestium“, art. 186,
und „Theoria combinationis etc.“, art. 6, oder die auf Seite 279 angeführte französische Über
setzung von Bertrand, Seite 7 und 133.
70 ) Die L geben stationsweise zur Summe Null. Auf jeder Station ist folglich jedes
L eine Folge der übrigen.
71 ) Dieser Beweis ist hier, um abzukürzen, fortgelassen. Für den nachstehend be
handelten Fall ergibt er sich überdies nebenbei.
