Full text: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (1. Band)

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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
nung die Stetigkeit aller vorausgehenden und auch der Funktion 
selbst zur Folge. Wir stellen uns die Aufgabe, den Fehler zu 
bestimmen, welcher begangen wird, wenn man für f(x -f- h) die 
aut die ersten n Glieder erstreckte Partialsumme der Taylor- 
schen Reibe (88, (19)), d. i. 
/w+G ì -*‘+t ì |/< 2 + 
+ 
h n ~ 
1 . 2 ... (w — 1) ‘ 
nimmt ; dieser Fehler werde mit B n bezeichnet. 
Behufs Erledigung dieser Frage führen wir zunächst eine 
neue Bezeichnung ein, indem wir 
x = a, x + h = h 
setzen, woraus 
h = h — a 
folgt; das Intervall (a, h) muß eingeschlossen sein von jenem 
(a, ß). Es ist dann 
B. 
(i) 
m-m-tPv 
«)-?£(> 
af- 
dies aber läßt sich als Differenz zweier besonderen Werte der 
folgenden Funktion darstellen: 
(2) 
W) = fiß) + f ( f - (&-*) + (6 — ¿f + 
+ 
1 • 2 
(fi 
(n 
Zf 
indem nämlich 
<P i a )=fiß) + f ~Y-(&—«) + \ ■ (&—a) 3 +• • • 
<pQ>) =/’( & ); 
mithin ist tatsächlich 
f" ~ D (CT) 
1-2-••(♦» — 1) 
(b—a)” -1 
(3) B n = cp(b) — <p(a). 
Auf Grund dieser Bemerkung ist eine Schätzung von B n 
durchführbar, in allgemeinster Form mit Hilfe des verall 
gemeinerten Mittelwertsatzes (39). Hat nämlich die Funktion 
(piß) an jeder Stelle zwischen a und h einen vollständigen Dif 
ferentialquotienten — ihre Stetigkeit in dem Intervalle (n, h) 
ist durch die Voraussetzungen gewährleistet, wenn man sie für
	        
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