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Erster Teil. Differential-Rechnung.
nung die Stetigkeit aller vorausgehenden und auch der Funktion
selbst zur Folge. Wir stellen uns die Aufgabe, den Fehler zu
bestimmen, welcher begangen wird, wenn man für f(x -f- h) die
aut die ersten n Glieder erstreckte Partialsumme der Taylor-
schen Reibe (88, (19)), d. i.
/w+G ì -*‘+t ì |/< 2 +
+
h n ~
1 . 2 ... (w — 1) ‘
nimmt ; dieser Fehler werde mit B n bezeichnet.
Behufs Erledigung dieser Frage führen wir zunächst eine
neue Bezeichnung ein, indem wir
x = a, x + h = h
setzen, woraus
h = h — a
folgt; das Intervall (a, h) muß eingeschlossen sein von jenem
(a, ß). Es ist dann
B.
(i)
m-m-tPv
«)-?£(>
af-
dies aber läßt sich als Differenz zweier besonderen Werte der
folgenden Funktion darstellen:
(2)
W) = fiß) + f ( f - (&-*) + (6 — ¿f +
+
1 • 2
(fi
(n
Zf
indem nämlich
<P i a )=fiß) + f ~Y-(&—«) + \ ■ (&—a) 3 +• • •
<pQ>) =/’( & );
mithin ist tatsächlich
f" ~ D (CT)
1-2-••(♦» — 1)
(b—a)” -1
(3) B n = cp(b) — <p(a).
Auf Grund dieser Bemerkung ist eine Schätzung von B n
durchführbar, in allgemeinster Form mit Hilfe des verall
gemeinerten Mittelwertsatzes (39). Hat nämlich die Funktion
(piß) an jeder Stelle zwischen a und h einen vollständigen Dif
ferentialquotienten — ihre Stetigkeit in dem Intervalle (n, h)
ist durch die Voraussetzungen gewährleistet, wenn man sie für