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a) Das vorbereitende geometrische Kapitel, welches sich unmittelbar auf mehr oder 
weniger bekannte Theorien stützt, in der Form eines Referats ohne Erbringung von Be 
weisen zu fassen, und auch, soviel wie mit dem leichten Verständnis desselben verträglich 
scheint, abzukürzen (wobei leider insbesondere alle Erläuterungen über die Gestalt der 
Flächen etc. weggelassen werden mussten); und 
b) neben einigen kleineren Abkürzungen in den letzten Kapiteln einen grossen Theil 
meiner eigenen Untersuchungen über Specialfälle in sehr knappe Form zu setzen. 
Ich hoffe, dass es mir in nicht zu ferner Zeit möglich sein wird über diese ganze 
Theorie eine Veröffentlichung von viel grösserem Umfange zu machen, wo dann viele Män 
gel, welche der jetzigen Darlegung in Folge der gebotenen Kürze anhaften, beseitigt wer 
den sollen. 
Wir werden uns im Folgenden mit einem Problem beschäftigen, welches wir schlecht 
weg als die Randwerthaufgabe der Potentialtheorie bezeichnen wollen*). Bei 
diesem Problem wird ein Körper vorgelegt und es wird verlangt innerhalb desselben ein 
Potential zu bestimmen, welches dort nebst seinen ersten Ableitungen endlich, stetig und 
eindeutig verläuft und auf der Begrenzung des Körpers beliebig vorgeschriebene Werthe 
annimmt. 
Diese Randwerthaufgabe soll nun im Folgenden für das »Cyclidensechsflach« (so 
wollen wir den Körper nennen, welcher von sechs confocalen Cycliden begrenzt ist) und 
seine Ausartungen behandelt werden. Natürlich ist dies längst in zahlreichen Specialfällen 
geschehen und es wird nicht ohne Interesse sein, an dieser Stelle hierüber eine historische 
Darlegung zu geben, wenn auch nur die Hauptpunkte berührt werden können. Einen ge 
naueren Bericht über verschiedene Einzelheiten werde ich später im Texte einschalten. 
Yor allen ist Laplace (1782) zu nennen, insofern derselbe den von Lagrange 
herrührenden Begriff des Potentials auf das Problem der Ebbe und Fluth anwendete. Hier 
durch wurde er auf die Randwerthaufgiabe für die Yollkugel geführt, welche er dann mit 
telst der von ihm ersonnenen (in unserem Sinne sehr speciellen) Kugelfunktionen löste. Den 
Anstoss hierzu hatte wohl die Einführung noch speciellerer Kugelfunctionen durch Legendre 
gegeben. 
Wir nennen ferner Fourier (1822), der (von Problemen der Wärmelehre ausgehend) 
zur Lösung der Randwerthaufgabe unter anderen für das rechtwinklige Parallelepipedon ge 
langte. Diese Lösung hat er mittelst trigonometrischer Reihen (der sog. Fourierschen Rei 
hen), oder in gewissen Grenzfällen durch Integraldarstellungen geleistet. 
*) Die allgemeine Randwerthaufgabe der Potentialtheorie, bei der nicht die Werthe des Potentials V 
dV 
seihst, sondern diejenigen von V + h (wo n die Richtung der Normale) auf der Oberfläche des Kör 
pers vorgeschrieben sind, werden wir im Folgenden nicht betrachten, da sie sich durch unsere Methoden 
in den von uns behandelten Fällen nicht immer lösen lässt, (nicht einmal immer, wenn h — oo, d. h. wenn 
dV 
die Randwerthe von vorgegeben werden).