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Mit der Lösung unseres Problems für das dreiaxige Ellipsoid wird der Name von
Lame (1839) mit Recht verbunden*). Zur Behandlung dieses Problems führte er das,
vorher schon von Jacobi für andere Zwecke benutzte, System der elliptischen Coordinaten
ein, wodurch ein neuer fundamentaler Gedanke für die Behandlung unserer Aufgabe zur
Geltung gelangte, dass es nämlich in erster Linie auf die Wahl passender krummliniger
Coordinaten ankommt.
Nach Lamé sind dann noch zahlreiche besondere Körper nach der Methode der
Reihenentwickelung von verschiedenen Mathematikern behandelt worden, so von Heine
und Li ou vi Ile, sowie von den Herren C.Neumann und Me hl er, wobei sich die Ein
führung verschiedener neuer Eunktionsgattungen (vergi. Kap. II § 6) nöthig erwies. An dieser
Stelle mag der Name von Heine besonders hervorgehoben werden, nicht nur wegen der
grossen Ausdehnung seiner sonstigen hierhergehörigen Untersuchungen, wie sie in dem
»Handbuch der Kugelfunktionen« zusammengestellt sind, sondern auch weil die früheren
Untersuchungen Lamé’s von ihm auf Räume von mehr wie drei Dimensionen übertragen
wurden **).
Die sämmtlichen bis jetzt erwähnten Mathematiker sind vorzugsweise Analytiker.
Dagegen nimmt Sir William Thomson, unserer Theorie gegenüber, eine ganz andere
Stellung ein, indem er das Problem mehr anschauungsmässig auffasst (wenn dies
auch in seiner Darstellung nicht immer klar hervortritt). Von Thomson sind für uns
zwei Hauptleistungen zu nennen : 1) Im Jahre 1845 führte er in die Potentialtheorie die
Transformation durch reciproke Radien ein, indem er zeigte wie man die Potentialaufgabe
für einen beliebigen Körper lösen kann, wenn letzterer aus einem schon behandelten Kör
per durch Inversion hervorgeht. Dieser Gedanke wird, wie wir in Kapitel I sehen werden,
in unserer Darstellung von Beginn an eine fundamentale Rolle spielen. 2) Ein zweiter
grosser Fortschritt, welcher wir dem genannten Mathematiker verdanken, ist durch den
»Appendix B« der »Natural Philosophy« von Thomson und Tait angebahnt. Dort han
delt es sich in sehr knapper und schwer verständlicher Weise um Körper welche von Flä
chen begrenzt sind, welche dem Orthogonalsystem der gewöhnlichen Polarcoordinaten ange
hören, d. h. von concentrischen Kugeln, Meridian ebenen und Rotationskegeln. Zur Behand
lung dieser Körper sind keine höheren Functionen nöthig wie Kugelfunktionen, dieses Wort
aber im allgemeinsten Sinne genommen, in welchem wir es später gebrauchen werden. In
zwischen ist die bez. Darlegung nicht so sehr wegen der besondern Probleme bemerkens-
*) Allerdings hatte Green bereits vorher (1833) viel allgemeinere Untersuchungen über diesen Ge
genstand angestellt. Doch sind dieselben nicht so weit durchgeführt, wie diejenigen von Lame, und
ausserdem in einer sehr schwer lesbaren Form gefasst, so dass sie wenig beachtet geblieben sind.
**) In der schon genannten Vorlesung von Herrn Klein sind die Untersuchungen auch zum grossen
Theil für den Raum von beliebig vielen Dimensionen geführt worden. Hierauf können wir leider im Fol
genden nicht eingehen; doch behalte ich mir vor, bei anderer Gelegenheit den dort vorhandenen allgemei
nen Ansatz darzulegen, und durch Berücksichtigung der Specialfälle zu vervollständigen. Einige der so
gewonnenen Resultate werden sich dann auch für die mathematische Physik des gewöhnlichen Raumes
(Schwingungsprobleme bei dreifach ausgedehnten Massen etc.) von Interesse erweisen.
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