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Zur allgemeinen Orientirung betrachten wir zunächst die Geometrie der reciproken 
Radien in der Ebene (wo wir es dann natürlich mit Kreis Verwandtschaften zu thun haben). 
Dabei können wir uns, im Interesse grösserer Anschaulichkeit unserer Betrachtungen, des 
Hülfsmittels bedienen, dass wir die Ebene stereographisch auf eine Kugel beziehen. Passen 
wir nun diejenigen Collineationen des Raumes ins Auge, welche diese Kugel in sich selbst 
überführen. Dieselben werden gewissen Transformationen der ursprünglichen Ebene in sich 
entsprechen, und zwar stellt es sich heraus, dass dieselben geradezu die Gesammtheit aller 
Kreisverwandtschaften liefern*). Durch den Uebergang zur Kugel kommen wir also, um 
die Geometrie der reciproken Radien für die Ebene zu studiren, ins Gebiet der projectiven 
Geometrie des Raumes, wo wir dann zur Pestslegung der Punkte gewöhnliche homogene 
Coordinaten x x , x 2 , x 3 , x 4 einführen (welche beliebig gewählten Vielfachen der Abstände 
von den vier Ebenen des Coordinatentetraeders proportional sind). In diesen Coordinaten 
möge die Gleichung der Kugel lauten: Q = 0; durch geeignete Wahl der Coordinaten 
können wir dieses & zu einer beliebigen quadratischen quaternären Form der x von nicht 
verschwindender Discriminante machen. Diese Coordinatenbestimmung nebst der Gleichung 
ß = 0 übertragen wir dann auf die Ebene, indem wir einfach jedem Punkte der Ebene 
dieselben Coordinaten x 1} x 2 , x 3 , x 4 zuordnen, welche der entsprechende Punkt der Kugel 
besitzt. Die x t , x 2 , x 3 , x 4 sind dabei immer durch die Relation Q = 0 verbunden. 
Die so gewonnenen Coordinaten in der Ebene wollen wir nun tetracyclische 
Coordinaten nennen, denn sie lassen, wie leicht nachzuweisen ist, folgende einfache In 
terpretation zu (bei der die Bezugnahme auf den dreifach ausgedehnten Raum bei Seite ge 
lassen ist): 
Die tetracyclischen Coordinaten a?,, x 2 , x 3 , x 4 eines Punktes der Ebene 
sind proportional beliebig zu wählenden Vielfachen der Potenzen des be 
treffenden Punktes in Bezug auf vier beliebig zu wählende Grundkreise**). 
Zwischen den so definirten Grössen besteht eine homogene quadratische 
Identität von nicht verschwindender Discriminante: Q = 0. 
Nun stellen wir folgende zwei Sätze auf, deren Richtigkeit sofort einzusehen ist: 
Die homogene Gleichung ersten Grades zwischen den tetracyclischen 
Coordinaten stellt einen Kreis (bezw. im Specialfalle eine Gerade) dar. 
Kreis Verwandtschaften werden durch homogene lineare Substitutio 
nen der tetracyclischen Coordinaten ausgedrückt, welche die Identität 
= 0 ungeändert lassen. 
Durch diese zwei Sätze sehen wir, dass die Geometrie der reciproken Radien der 
*) Vergl. den schon erwähnten Aufsatz von Herrn Klein „Ueber Liniengeometrie und metrische 
Geometrie.“ Math. Ann. Bd. 5. 
**) Natürlich dürfen die vier Grundkreise nicht alle auf einen fünften Kreis senkrecht stehen, denn 
sonst wären die einzuführenden vier tetracyclischen Coordinaten von einander nicht linear unabhängig, 
Aehnliches gilt für die Definition pentasphärischen Coordinaten im Raume, wie nicht weiter ausgeführt 
zu werden braucht.