2 
fität £2 = 0 ist im Sinne des Trägheitsgesetzes durch vier Vorzeichen der 
einen und ein Vorzeichen der anderen Art charakterisirt. 
Voraussetzung ist dabei natürlich, dass wir die Coordinaten in reeller Weise einge 
führt haben. Dies ist nicht immer nöthig und in der That ist es öfter bequem, die penta- 
sphärischen Coordinaten mit Hülfe imaginärer Grössen geradezu so einzuführen, dass die 
Identität die Form 
2;^ = 0 
1 
erhält. Wir wollen hierfür zwei besonders einfache Beispiele anführen, indem wir die 
x i ... x 5 durch gewöhnliche homogen gemachte rechtwinklige Coordinaten ir, y, s, t (wo also 
—, — , — rechtwinklige Cartesische Coordinaten sind) 
Z Z Z 
ausdrücken. Die betreffenden For- 
mein lauten folgendermassen : 
a') x., = i (x 2 + y 2 + s 2 + f), 
a") x t = 
V i (x 2 + y 2 + s 2 + it 2 ), 
x 2 = (ix 2 + y 2 + s 2 — t 2 ), 
^2 = 
—i\!i (x 2 + y 2 + s 2 - it 2 ), 
x 3 = 2 xt, 
^3 = 
2 xt, 
x 4 = 2yt, 
*4 = 
2 yt, 
x 5 = 2 st; 
*5 = 
2 st. 
Man bemerke, dass sämmtliche Grundkugeln des Systems a') reell sind, d. h. dass 
ihre Gleichungen in gewöhnlichen Cartesischen Coordinaten mit lauter reellen Coefficienten 
geschrieben werden können. Während aber vier dieser Kugeln ¿r 2 , a? 3 , a? 4 , x 5 eintheilig 
sind, d. h. reelle Punkte besitzen, ist die andere, aq, nullt heilig. Dagegen sind beim 
Systeme a") die Grundkugeln x s , x 4 , x 5 reell und eintheilig, x x und x 2 aber imaginär. 
Hier können wir auch gleich ein anderes einfaches pentasphärisches Coordinatensystem 
anführen , mit welchem wir es im Folgenden viel zu thun haben werden. Es ist dies näm 
lich ein Coordinatensystem mit der Identität 2 x t x 2 + x 2 a + x\ + x\ — 0, wobei, wie leicht 
zu sehen ist, die Grundkugeln x 3 , x 4 , x 5 einander orthogonal schneiden müssen, während 
x t = 0 und x 2 = 0 diejenigen Punktkugeln vorstellen, welche in den zwei Durchdrin 
gungspunkten von x a , x 4 , x 5 liegen. Das einfachste Beispiel für ein solches Coordinaten 
system ist: 
x x — —2 ¿ 2 , 
x 2 = x 2 + y 3 + S 2 , 
x 3 = 2 xt, 
x 4 = 2yt, 
x 5 = 2 st. 
Schliesslich mag noch das Verhalten des Unendlichfernen in der Geometrie der re- 
ciproken Radien kurz besprochen werden. 
In der elementaren Geometrie kommt das Unendlichferne des Raumes überhaupt nicht 
in Betracht, insofern dasselbe durch sämmtliche Transformationen der bei dieser Geometrie