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in Betracht kommenden Gruppe in sich selbst überführt wird. Demgegenüber pflegt man
in der projectiven Geometrie von einer unendlich fernen Ebene zu sprechen, indem die
Gesammtheit der unendlich fernen Punkte, sofern sie durch eine Collineation in’s Endliche
geworfen wird, dort eine Ebene ausfüllt. Nun gehen aber sämmtliche unendlich ferne
Punkte bei einer Inversion des Raumes in einen einzigen im Endlichen gelegenen Punkt
über. Wir werden also in der Geometrie der reciproken Radien von dem unend
lich fernen Punkt sprechen. Dieser Punkt wird uns fernerhin oft als Punktkugel erschei
nen , d. h. durch eine lineare Gleichung zwischen den x t ... x 6 gegeben sein. Setzt man
voraus, dass die zwischen den x bestehende Identität die Gestalt
S,*f
o
habe, so wird diese Gleichung einfach:
5 /y*
y _I — o
TKi ’
wo , R„...R 6 die Radien der Grundkugeln des Coordinatensystems bedeuten.
Jetzt gehen wir weiter indem wir folgende Definition vorausschicken:
Wir bezeichnen alle diejenigen Flächen als Cycliden, welche sich
durch eine Gleichung zweiten Grades zwischen pentasphärischen Coordi-
naten darstellen lassen.
Man überzeugt sich leicht, dass nach der gewöhnlichen (projectiven) Anschauungs
weise die hiermit definirten Cycliden im allgemeinen Flächen vierter Ordnung sind (welche
den Kugelkreis als Doppelcurve besitzen), und dass umgekehrt alle Flächen vierter Ordnung,
welche den Kugelkreis als Doppelcurve besitzen, Cycliden sind; dass aber auch Flächen
dritter Ordnung, welche einfach durch den Kugelkreis gehen, sowie alle Flächen zweiter
Ordnung als Cycliden angesehen werden müssen. Dabei sind, nach unserer jetzigen An
schauung, diese Flächen dritter Ordnung nichts Anderes als Cycliden, welche durch den
unendlich fernen Punkt hindurchgehen, und die Flächen zweiter Ordnung Cycliden, welche
im unendlich fernen Punkte einen Doppelpunkt besitzen.
Jetzt stellen wir folgende leicht zu begründende Eigenschaften von Cycliden zusammen:
Cycliden gehen durch Kugelverwandtschaft in Cycliden über.
Die allgemeine Cyclide besitzt fünf Symmetriekugeln, welche einan
der orthogonal schneiden. Wenn wir diese Kugeln als Grundkugeln eines
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Systems pentasphärischer Coordinaten mit der Identität = 0 wäh-
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len, so lautet die Gleichung der Cyclide:
xl
0.
Die Gleichung
2,
a { x:
k—e t