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Cycliden darum aber noch nicht von verschiedener Art nennen. Wir werden den Artbe
griff vielmehr umfassender wählen und unsere erste Unterscheidung zwischen verschiedenen
Arten von Cycliden darin finden, dass wir die Multiplicitäten in Betracht ziehen, mit denen
verschiedene der Wurzeln X n X 2 , X 3 , X 4 , X 5 zusammenfallen mögen. Hierdurch bekommen
wir eine Eintheilung in 7 Classen, welche beziehungsweise durch folgende Multiplicitäten
der Wurzeln characterisirt sind:
11111, 2111, 311, 221, 41, 32, 5.
Diese Classen sind aber noch einer weiteren Zerspaltung fähig, und hierin liegt das Wesent
liche der W ei erstrassischen Theorie.
Sei nämlich X< eine v-fache Wurzel, so dass die fünfgliedrige Determinante | X. a Jk —b ]k j
V-fach verschwindet. Nehmen wir ferner an, es verschwänden alle ersten (viergliedrigen)
Unterdeterminanten v‘j - fach; alle zweiten Unterdeterminanten v 2 -fach; etc. Dann sieht man
leicht, dass
> v* > v 2 > . . .
bis die v selbst verschwinden. Die Differenzen:
G == V V 15 6 2 V 1 V 2 5 ß 3 V 2 V 3 5 •••
sind also niemals negativ, und es lässt sich ferner beweisen, dass sie den Ungleichheiten ge
nügen :
e\ > e* > . . .
Schreibt man nun:
I KI = n = n . . .],
» X
so nennt Herr Weierstrass die einzelnen hier auftretenden Faktoren (X — 'k^’ n die E1 ementar-
theiler der Formenschaar Xil — <I>, und seine Theorie besteht darin, dass neben der schon
erwähnten Projectivität der X. die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass
zwei solche Formenschaaren durch lineare Substitution in einander übergeführt werden kön
nen, die Uebereinstimmung der Multiplicitäten e\ ihrer Elementartheiler ist.
Greifen wir jetzt auf die Unterscheidung nach der Multiplicität der Wurzeln zurück,
so werden wir ebensoviele Arten von Cycliden unterscheiden wollen, wie es verschiedene Sy
steme von Zahlen v und e gibt. Diese Arteintheilung werden wir durch folgendes Schema
festlegen, in welchem die Ziffern die Werthe der e bedeuten sollen, und die Summe der
jedesmal zusammengeklammerten Ziffern die zugehörigen v vorstellen sollen*).
*) So wird z. B. [2(11) 1] den Fall bedeuten, wo es zwei zweifache und eine einfache Wurzel gibt,
und wo die eine Doppelwurzel zu einem zweifachen, die andere zu zwei einfachen Elementartheilern
gehört.