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§ 4. Aufzählung der reellen Systeme confocaler Cycliden.
Die Schlussbemerkungen des vorigen Paragraphen beziehen sieh natürlich ebensogut^,
wie auf einzelne Cycliden, auf Cyclidensysteme. Wir sind also jetzt im Stande, die ge
wünschte Aufzählung der letzteren zu machen. Wie die verschiedenen hierbei in Be
tracht kommenden Schaaren sich gestaltlich verhalten, sehen wir am einfachsten dadurch,
dass wir anstatt der pentasphärischen Coordinaten zunächst mittelst der Formeln von S. 9
Cartesische Coordinaten einführen, die besonderen so dargestellten Flächensysteme untersuchen
und uns dann eine beliebige reelle Kugelverwandtschaft ausgeführt denken. Wir können
auf diese Weise folgende Tabelle entwerfen, in welcher wir jeden Fall auf Grund der auf
S. 13 getroffenen Verabredung mit einem Schema begleiten. Dabei sollen diese Schemata
noch dadurch vervollständigt werden, dass wir den Strich, welcher der, bei der Kategorie 1'
auftretenden, nulltheiligen Kugel entspricht, mit einer Pfeilspitze versehen. Wir werden
nun diese Schemata geradezu als in der Ebene der complexen Zahlen X gelegen ansehen.
Jedem Punkte unserer horizontalen Mittellinie, als der Axe der reellen Zahlen, entspricht
dann eine reelle Cyclide der Schaar, d. h. eine Cyclide mit reeller Gleichung. Diese Fläche
kann dabei vielleicht nulltheilig sein, d. h. bis auf reelle singuläre Punkte oder Curven
keine anderen reellen Punkte besitzen. Ich habe diejenigen Theile der reellen Axe, welchen
solche nulltheilige Flächen entsprechen, in den Schemata nur punktirt.
Diejenigen reellen Flächen, welche (abgesehen von etwaigen isolirten Doppelpunkten)
nur einen, durchaus zusammenhängenden, reellen Theil besitzen, bezeichnen wir als einthei-
lig oder als ringförmig (je nachdem dieser reelle Theil im Sinne der gewöhnlich gebrauch
ten Ausdrucksweise der Analysis situs einfach oder dreifach zusammenhängend ist). Flächen,
deren reeller Theil aus zwei getrennten Schaalen besteht, bezeichnen wir als zweitheilig;
eine jede dieser Schaalen ist dann nothwendig einfach zusammenhängend. Wenn die Fläche
einen reellen nicht isolirten Doppelpunkt besitzt, so sind diese Bezeichnungen natürlich nicht
ohne Weiteres anwendbar. Es kann aber eine solche Fläche immer auf zwei Weisen als
Grenzfall einer singularitätenfreien Cyclide angesehen werden, und wir können dementspre
chend zur Beschreibung ihrer Gestalt eine doppelte Bezeichnung (z. B. ein - zweitheilig)
brauchen.
Tabelle.
ß = x\ + x\ + x\ + x\ + xl — 0,
I
e, e e 3 e s / ^ p _ allgemeine zweitheilige Cycliden.
p v Z 6 ~~ f v = allgemeine Ringcycliden.
I o) [11111]
I" a) ■ —y: b v, p = allgemeine einzeilige Cycliden.
