§ 3. Ueber die Specialfälle und die Ausartungen der Lameseben Gleichung. 
Was wird nun aus der Laméschen Gleichung, wenn zwei einfache singuläre Punkte 
desselben zusammenfallen; d. h. wenn die Funktion (bezw. Form) f eine Doppelwurzel e. 
bekommt? Wir haben schon oben bemerkt, dass sich die Differentialgleichung in einem 
solchen Doppelpunkt immer noch regulär verhält. Des Näheren findet man (ÜT), dass die 
daselbst auftretenden Exponenten einander entgegengesetzt gleich sind, und dass sie, sofern 
wir an die homogene Form 5) der Laméschen Gleichung anknüpfen, die Werthe haben: 
t/ 
V n(n — lì f 
2 q> (ej n —4 
^ T *\ 
n(n — l)f"(e¡) 8 (n — 1) '' 
Wenn aber drei oder mehr einfache singuläre Punkte zusammenfallen, wird die L am ésche 
Gleichung in diesem Punkte im allgemeinen irregulär (K). 
Was schliesslich das Zusammenfallen eines einfachen oder eines mehrfachen singulä 
ren Punktes mit dem Punkte x — co angeht, so sehen wir aus der homogenen Form so 
fort, dass dies von keiner wesentlichen Bedeutung sein kann. Selbstverständlich aber neh 
men die nicht homogenen Formen der Laméschen Gleichung alsdann eine etwas andere 
Gestalt an. Werden z. B. e x und e 2 ins Unendliche geworfen, so nimmt die Gleichung 3) 
S. 38 folgende Form an: 
^ = [Ax'-> + • • • + M]. y, 
bei welcher t l das hyperelliptische Integral bedeutet: 
Dies ist nun gerade die Hein esche Differentialgleichung für Lamé sehe Funktionen (n—3)ter 
Ordnung, womit das, was vorhin über Heine’s Definition gesagt wurde, bestätigt ist**). 
Schliesslich haben wir noch einen anderen Punkt zu besprechen. Wir bemerkten, 
dass bei einem v-fachen singulären Punkte (v > 3) im allgemeinen irreguläres Verhalten 
der Laméschen Gleichung eintritt. Wenn wir aber auf die Gleichung 2) S. 32 Bezug neh 
men, sehen wir, dass dies nicht mehr der Fall ist, sobald die Funktion ax^+bx" -5 -] f-m 
im betreffenden Punkte (v —2)-fach verschwindet. Indem wir diesen Umstand weiter über 
legen, kommen wir auf folgenden Satz: 
*) Wenn die Differenz dieser Exponenten ganzzahlig ist, werden in der Nähe unseres zweifachen 
singulären Punktes im allgemeinen natürlich logarithmisebe Irrationalitäten auftreten; doch gehen wir 
hierauf der Kürze halber nicht näher ein. 
**) Heine specialisirt dann selbstverständlich noch, nach dem Vorgänge von Lamé, die accessori- 
schen Parameter A, B, . . . M in der Weise, dass die Gleichung eine algebraische Lösung erhält; dieser 
ganze Ansatz wird im Texte übergangen, weil er in der That für uns nicht in Betracht kommt. 
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