41
6
die partielle Differentialgleichung, welcher das genügt, ist dabei gar nicht geändert wor
den. Wenn wir nun eben die Grenzübergänge machen, die uns auf 8. 31—32 zu den Ka
tegorien II und III geführt haben, so geht der Faktor mit welchem 4 in V multiplicirt ist,
, in folgenden über:
1
2
V (2 x x x 3 + xl) + 2 x x x 2 + e t x\ + e 5 x\
v e 1 (2x 1 x 2 ) + x\ + e 3 x\ + e,xl + e b x\
2 t c i x i — 0 soll dabei beidemal die Gleichung der unendlich fernen Punktkugel sein. Die
neuen Funktionen ^ aber müssen natürlich ihrerseits partiellen Differentialgleichungen ge-
niigen, welche durch unsere Grenzübergänge aus der ursprünglich für 4 geltenden partiellen
Differentialgleichung entstehen. Da aber die Grössen a. hier überhaupt nicht in Betracht
kommen, so gestalten sich diese Grenzübergänge ausserordentlich einfach, indem sie auf ein
blosses Gleichsetzen zweier, bezw. dreier e i hinauskommen. Dies gilt natürlich auch für die
Lamésche Gleichung, welche wir bekommen, wenn wir ^ als Lamésches Product anneh
men. Wir erhalten somit folgenden Satz:
In dem Falle II a) bezw. III a) können die drei Faktoren des Laméschen
Productes als irgend welche drei Lösungen einer Laméschen Gleichung
angenommen werden, welche nach wie vor beliebige accessorische Para
meter enthält, aber in soweit particularisirt ist, als sie im ersten Falle
neben drei einfachen einen zweifachen singulären Punkt besitzt, im zwei
ten Falle aber neben zwei einfachen einen dreifachen singulären Punkt.
Wir werden also in der bezüglichen Laméschen Gleichung einfach 2, resp. 3 der e i
einander gleich zu setzen haben.
§ 6. Ueber die Laméschen Producte, welche im Falle der übrigen eyclidisclien
Coordinatensysteme auftreten.
Kur in den Fällen la), Ha), lila), welche wir im vorigen Paragraphen discutiti
haben, sind, wie wir wissen, die krummlinigen Coordinaten p, v, p alle drei unmittelbar de
finiti, in allen anderen Fällen müssen einige von ihnen erst durch einen Hülfsgrenzüber-
gang eingeführt werden. Nun wird für diejenigen krummlinigen Coordinaten, welche in
irgend welchem Falle ohne weiteres vorhanden sind, der Grenzübergang für die zugehörige
Lamésche Gleichung einfach darin bestehen, dass wir die singulären Punkte der Differen
tialgleichung genau so zu mehrfachen singulären Punkten zusammenrücken lassen, wie dies
durch die Schemata der auf S. 18—22 mitgetheilten Tabelle angegeben wird. Die Yerthei-
lung der jedesmaligen Multiplicität der e { auf verschiedene Elementartheiler (wie sie in der
Tabelle für jeden Fall ausführlich angegeben wird) scheint dabei zunächst nicht in Betracht
zu kommen; und wir werden sehen, dass dies unter gewissen Beschränkungen in der That
