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Natürlich entsprechen einer vorgelegten La nié sehen Gleichung oo 2 derartige Curven (oder
vielmehr Curvenzweige). Aus den Entwickelungen von S. 29 sehen wir, dass es unter die
sen Curven oo 1 gibt {y = LE t (x)), welche für den Werth
x — e. keine Singularität aufweisen, und co 1 andere gibt
(y = ME 2 (x)), welche die Ordinate x — e. im Punkte y = 0
parabelartig berühren. Der allgemeine Zweig
y = LE 1 (x) + M E 2 (x)
wird also ganz auf der einen Seite der genannten
Ordinate verlaufen und dieselbe in einem beliebi
gen Punkte berühren*). (Yergl. die Curven (1), (2), (3)
der nebenstehenden Figur).
Nun wollen wir in diesem und dem nächsten Paragraphen den Verlauf einer Lamé-
schen Curve zwischen zwei aufeinanderfolgenden singulären Stellen näher untersuchen. Der
Bequemlichkeit halber werden wir aber annehmen, dass dieses Intervall der x-Axe ganz im
Endlichen liege. In der That besitzt jede Lam ésche Curve (sowie auch jede Lamé sehe
Funktion), vermöge der bei uns festgehaltenen Festlegungen, den Punkt x — oo als un-
eigentlich singulären Punkt. Wenn wir also auch solche Intervalle der x-Axe in Betracht
ziehen wollten, welche durch’s Unendliche gehen, müssten wir jedesmal besondere Zusatzbe
trachtungen für den Punkt x — co machen. Hierdurch würde aber unsere Theorie sehr
weitläufig werden, und wir schliessen also der Kürze halber solche Intervalle im Folgenden
aus (vergi. S. 34).
Was nun den Verlauf einer Laméschen Curve zwischen den Punkten e i und e t+1 an
geht, so sehen wir sofort, dass die Curve (sofern sie in dem Intervalle überhaupt reell ist)
in demselben durchaus stetig verläuft und jedem x ein bestimmtes y eindeutig zuordnet.
An den beiden Endordinaten des Intervalles wird dann aber die Curve im allgemeinen pa
rabelartig reflectirt, so dass wir es, wenn wir die Curve längs des Intervalles hin- und her
gehend unbegrenzt verfolgen, allgemein zu reden mit einer un
endlich vieldeutigen Funktion y von x zu thun haben ; auf diese
Weise kann dann eine Lam ésche Curve ganz gut Doppelpunkte
bekommen, indem zwei ihrer Zweige sich schneiden. Jeder
Zweig für sich genommen, muss aber ohne Punkt
singularität von dem einen Ende des Intervalles
zum anderen laufen. Es soll dies durch die nebenste
hende Figur schematisch erläutert sein.
*) Indem wir die E t , E 2 als die zu den Exponenten 0, \ im Punkte C; gehörigen Lösungen wählen, ist
offenbar nöthig, damit wir es überhaupt mit einem reellen Curvenzweig zu thun haben, dass in der For
mel des Textes die Constante L reell genommen wird, während die Constante M entweder reell oder rein
imaginär sein wird, je nachdem unserer Curvenzweig rechter oder linker Hand von der Ordinate x = e f
verlaufen soll.
