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Intervalles unendlich oft oscilliren. Wenn dagegen die Hülfsgerade der
Laméschen Gleichung durch den dreifachen singulären Punkt der #-Axe
selbst hindurchgeht, ist dies nicht mehr der Fall, und dementsprechend
arten die Laméschen Funktionen n = 5 dann in der Weise aus, dass sie
abgesehen von einem sich abtrennenden Faktor {x — dem Falle n — 4
angehören.
Jetzt gehen wir zu einer anderen Art von Specialfall über, indem wir unser eines
Segment in ein solches nicht verschwindendes Intervall verlegen, welches an ein verschwin
dendes Intervall anstösst, und nun den mehrfachen singulären Punkt, auf welchen sich das
verschwindende Intervall zusammengezogen hat, als den einen Endpunkt unseres Segmentes
wählen. Die Hülfscurve dieses Segmentes wird dann
eine wesentlich neue Gestalt annehmen. Diese Gestalt
wird durch die zweite der nebenstehenden Figuren ge
zeigt, während die erste deren continuirliche Entstehung
aus der gewöhnlichen Gestalt verständlich machen soll.
Wegen dieser neuen Form der Hiilfscurven wird nun
das Oscillationstheorem, wo auch das andere Segment
liegen mag, nicht mehr allgemein aufrecht zu erhalten
sein *), vielmehr sieht man sofort, dass es jedenfalls
nicht mehr für alle Oscillationszahlen gelten kann.
Schliesslich gehen wir zum Oscillationstheo
rem für geschlossene Segmente über. Wir
wollen hier Intervalle betrachten, welche von zwei einfachen singulären Punkten begrenzt
sind**), und zwar mag das Segment dieses Intervall genau ¿ Mal umspannen. Hierdurch
ist zunächst noch keine wesentliche Specialisirung eingetreten; wir wollen jetzt aber die
zwei Endpunkte unseres Segments, welche schon zusammenfallen, ausdrücklich mit einander
verschmelzen, d. h. wir wollen nicht mehr verlangen, dass die Lamé sche Curve an den
beiden Enden des Segments verschwindende Ordinaten hat, sondern dass sie (nach 2¿-mali
gem Durchlaufen des Intervalls) in sich selbst zurückläuft. Bei näherer Untersuchung kom
men wir auf folgenden Satz :
Wir können sämmtliche von einander linear unabhängige Lamé-
sche Funktionen, welche nach ¿-maliger Umlaufung des Intervalles e ( e k
in sich selbst zurückkehren und innerhalb des so beschriebenen ge
schlossenen Segmentes 2ftMal***) verschwinden, dadurch bestimmen, dass
*) Eine Ausnahme hiervon bildet nur der Fall, dass das andere von uns in Betracht zu ziehende
Segment im verschwindenden Intervalle von liegt, wobei als Doppelpunkt vorausgesetzt sein soll. Die
Hülfspunkte dieses Segments werden dann nämlich unterhalb von A liegen, so dass von ihnen immer noch
eine und nur eine Tangente an die Hülfscurve der Figur gezogen werden kann.
**) Bei einem mehrfachen singulären Punkte kann sich das Segment nicht umbiegen, sofern wir im
Reellen bleiben wollen ; es ist dann also die Frage nach geschlossenen Segmenten gegenstandslos.
***) Eine ungerade Anzahl von Verschwindungsstellen in einem geschlossenen Segmente ist unmöglich.