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selbst in der Gestalt eines Ringes zwischen ihnen erstreckt. Wir wollen nun verabreden,
dass wir diese zwei zusammenfallenden Seitenflächen wegnehmen, d. h. den Körper in einen
geschlossenen Ring verwandeln. Um dies anzudeuten, brauchen wir offenbar nur das be
treffende Segment der À-Axe in sich selbst zurücklaufen zu lassen. Wir erhalten so das
nebenstehende Schema. Dabei bedeuten p — r x und p = r 2 die
beiden Ellipsoide, v = n x und v = n 2 die beiden einschaligen
Hyperboloide, die unseren ringförmigen Körper einschliessen.
Diesen Körper können wir nun noch weiter ausarten lassen, nämlich zu dem ganzen
Zwischenraum zwischen den zwei Ellipsoiden r x und r y Hierzu haben wir nur die beiden
Endpunkte des Segmentes n x n 2 derart in den Punkt e 4 rücken zu lassen, dass unser Segment
das Intervall e 3 e i genau zweimal überdeckt. Zunächst wird dann freilich die einzelne Seiten
fläche n x bezw. n 2 nur erst auf sich selbst zusammengeschrumpft sein zu einem doppeltüber
deckten Stücke der einen Symmetrieebene. Aber die so ausgearteten Seitenflächen wollen
wir dann natürlich wegnehmen. Wir deuten dies in unserem Schema dadurch an, dass wir
an jeden Endpunkt des Segmentes n x n 2 ein Kreuz setzen.
Auf ganz dieselbe Weise können wir endlich zum ganzen
Innenraum des Ellipsoids p — r 2 übergehen, wie durch das neben
stehende Schema hinreichend erläutert sein wird.
Nun wollen wir kurz Zusehen, wie wir die Randwerthaufgabe für dieses Yollellipsoid
zu behandeln haben *). Wir müssen zunächst die zum Ellipsoid gehörigen Lamé sehen
Producte aufsuchen, d. h. diejenigen Lamé sehen Producte, welche innerhalb des Ellipsoids
nebst ihren ersten Differentialquotienten eindeutig, stetig, und endlich verlaufen **). Hierzu
ist jedenfalls erforderlich, dass der Faktor E'{¡j.) dieses Productes nach zweimaligem Um
laufen des Intervalles e i e 5 in sich selbst zurückläuft. Nun überzeugen wir uns leicht ver
mittelst des auf S. 61—62 gegebenen Theorems, dass die nothwendige und hinreichende Be
dingung hierfür darin besteht, dass E'(¡i) sowohl in e 4 wie auch in e 5 ein Fundamental
zweig der Differentialgleichung sein soll. Ferner überzeugt man sich, dass man der Conti-
nuitätsbedingung, welche im Schema durch die dem Punkte e 4 beigesetzten Eheuze angedeutet
ist, nur so genügen wird, dass man E" (y) sowohl in e i wie in e 3 ebenfalls mit einem der
beiden Fundamentalzweige der Lamé sehen Differentialgleichung zusammenfallen lässt und
zwar im Punkte e i mit demselben Fundamentalzweige, dem dort E' (u) gleich wird. Endlich
bedeutet das dem Punkte e 3 beigesetzte Kreuz, dass dort E"'(p) wieder denselben Funda
mentalzweig vorstellen soll, wie E” (v). Nun müssen wir natürlich auf die Intervalle \i und
v das Oscillationstheorem anwenden. Hierdurch kommen wir dann genau zu
denselben Laméschen Producten, welche Lamé selbst seinerzeit zur Be
handlung des Vollellipsoids in Anwendung gebracht hat, indem er ver-
*) Die Unterschiede zwischen unserer Methode und derjenigen, welche Herr Klein (1. c.) zur Be
handlung dieses Problems angewandt hat, sind nur formell.
**) Allgemeinen werden die Lamdsehen Producte im vorliegenden Falle die Focalcurven des
Ellipsoids als Yerzweigungscurven besitzen.