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Hälfte vollständig überdecken. Dementsprechend wird sich das eine Summen-
zeichen in der Lösung unserer Potentialaufgabe in ein Integralzeichen
verwandelt haben. Ein Specialfall des hiermit bezeichneten Problems ist von Herrn
Mehl er*) behandelt worden, der die besonderen Kugelfunktionen, welche dabei auftreten,
als Kegelfunktionen bezeichnete**).
Wir kehren noch einmal zu dem Körper zurück, welcher von sechs beliebigen Flächen
unseres Orthogonalsystems begrenzt ist, und bemerken, dass für ihn unsere Theorie im We
sentlichen mit derjenigen übereinstimmt, welche Herr Thomson in dem schon erwähnten
»Appendix B« der Naturai Philosophy gibt. Allerdings werden dort nur solche Körper aus
drücklich erwähnt, welche von höchstens vier Flächen unseres Orthogonalsystems begrenzt
sind. Immerhin bedarf es noch einiger Bemerkungen, um auch nur für diese besonderen
Körper die in Rede stehende Uebereinstimmung hervortreten zu lassen, ebenso wie die Ueber-
einstimmung unseres Ansatzes mit denjenigen Resultaten, welche Laplace ursprünglich für
die Vollkugel abgeleitet hat***).
Es handelt sich hauptsächlich darum, den Radius r der concentrischen Kugeln anstatt
des imaginären Winkels einzuführen (vergi. S. 42), welchen diese Kugeln mit einander bilden
(während wir den früher gleichfalls benutzten Winkel cp, den die Meridianebenen mit einer
unter ihnen bilden, als Coordinate beibehalten). Wir setzen ferner e t — e 2 = oo, e s = 1,
e 4 = e 5 = 0, und führen als unsere dritte Coordinate die halbe Winkelöffnung der am Coor-
dinatensystem betheiligten Kegel ein, welche wir mit 1) bezeichnen wollen (so dass also
v = sin 2 ff). Dann haben wir in r, cp, ff gerade die gewöhnlichen Polarcoordinaten, welche
von Laplace und schliesslich auch von Herrn Thomson zu Grunde gelegt werden. Wenn
wir nun näher Zusehen, so zeigt sich, dass die Faktoren in cp und ff, welche in unseren
Lamé sehen Producten Vorkommen, mit den bei Herrn Thomson auftretenden entsprechen
den Faktoren genau übereinstimmen. Allein es scheint zunächst eine Abweichung in dem
Faktor vorzuliegen, der sich auf r bezieht. Herr Thomson findet nämlich für denselben
die Form : Lr n + Jfr“*“ 1 , während wir andererseits zu der Gestalt geführt werden: Lr c + Mr~ c .
Dieser Unterschied fällt nun einfach dadurch weg, dass unser Lamésches
Product noch mit dem Faktor T zu multipliciren ist, und dass sich in un
serem Falle dieses T auf r~~* reducirt.
Schliesslich sollten wir eigentlich noch ein Beispiel anführen, bei welchem die Figur
*) Math. Ann. Bd. 18 S_ 161. Vergi, auch die unmittelbar hierauf 1. c. folgende Abhandlung von Herrn
C. Neumann.
**) Diejenigen Funktionen nämlich, welche Heine in seinem Handbuche schlechtweg als Kugelfunk
tionen (bezw. als zugeordnete Funktionen) bezeichnet, oscillimi nicht im Intervalle p; Herr Me hl er sah
sich dadurch veranlasst, für seine Funktionen eine neue Benennung in Vorschlag zu bringen.
***) Um die Randwerthaufgabe für die Vollkugel nach unserer Methode zu lösen, müssen wir offenbar
im Intervalle v Oscillationen verlangen. Trotzdem lassen sich die beiden accessorischen Parameter der zu
gehörigen (ausgearteten) Lamé sehen Gleichung ohne Auflösung einer transcendenten Gleichung bestimmen.
Dies hängt damit zusammen, dass des Segment, welches im Intervalle v liegt, letzteres genau zweimal
überdeckt.