Zweites Capitel. II. Abschnitt.
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11. Abschnitt.
Rationale ganze und gebrochene Functionen einer und mehrerer
Variahein.
§ 18. Rationale ganze Functionen einer Variabein.
Nach diesen Vorbereitungen, durch die der Begriff der veränder
lichen Gröfse festgestellt wurde, gehen wir zu den schon oben defi-
nirteu algebraischen Functionen zurück, von denen uns zunächst die
rationale ganze Function einer unbeschränkt veränderlichen (completen)
Gröfse x beschäftigen soll.
Ordnen wir diese ganze Function nach den ganzzahligen Potenzen
der Variabein, so erhält sie die Gestalt
a 0 x n -f- a l x n ~ l -}-••• + a n -\X -j- a n .
¡Sie ist eine für jeden endlichen Werth der Variabein bestimmte Gröfse
y 7 die wir wieder mit f{x) bezeichnen. Die Variable heilst das Ar
gument der Function und nach dem höchsten Potenzexponenten n des
Argumentes nennt man die Function vom n ten Grade, so dafs die ganze
Function nullten Grades eine Constante ist und die ganze Function
ersten Grades (oder die lineare Function) die Form » 0 «-f ß, erhält.
Die Beschaffenheit der ganzen Function irgend eines Grades,
welcher zufolge der Entstehung der Function durch eine endliche An
zahl arithmetischer Operationen endlich sein muís, werden wir beur-
theilen können, wenn wir die Frage, ob und für welche Werthe des
Argumentes die ganze Function einen bestimmt vorgegebenen Werth
a annimmt, zu beantworten im Stande sind. Die erste Frage, ob
y — f{x) einen bestimmten Werth annehmen kann, werden wir dahin
specialisiren, dafs wir für den Werth a die Null wählen, denn die
Bestimmung von Wertheu x, welche der Gleichung f(x) = a ge
nügen, kommt auf die Ermittelung derjenigen Werthe zurück, welche
die ganze Function f(x) — «zu Null machen. Es ist also nachzu-
seheu, ob jede ganze Function für gewisse Werthe des Argumentes
verschwindet, dann nimmt sie auch jeden endlichen Werth a au.
Es wird aber ferner zu untersuchen sein, ob die ganze Function
fix) eine stetig veränderliche Gröfse ist, und ob einem Continuum
von x Werthen ein Continuum von Worthon y entspricht.
Wir nehmen vorerst an, dafs Zahlengröfsen existirán, für welche
/ \a) verschwindet — sie hei Isen Nullstcllcn von fix) oder Wurzeln
der Gleichung / [x) — 0 — und stellen die Beziehungen derselben zu
