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Zweites Capitel. II. Abschnitt. 
der ganzen Function fest, schicken aber noch folgende Definition 
voraus: Wenn sich f{x) als Product Bieder ganzer Functionen von x 
dar stellen läfst, so heifst jeder Factor ein algebraischer Theiler von f(x). 
Darnach ist jede ganze Function nullten Grades Theiler jeder 
ganzen Function, denn der Quotient von f{x) und einer Constanten 
ist wieder eine ganze Function. Von diesem Theiler sehen wir ab, 
gerade wie wir bei den ganzen Zahlen den selbstverständlichen Theiler 
Eins aufser Acht gelassen, d. h. nicht als Theiler bezeichnet haben. 
Wenn die Function fix) den Theiler ersten Grades cc 0 x -f- a l be 
sitzt, verschivindet f{x) für die Wurzel der Gleichung cc 0 x -j- a x = 0. 
Die letzte Gleichung hat nur eine Wurzel x x — —, denn wäre 
i a ° 
cc (i x l -f- «i — 0 und a 0 xf -f- «, = 0, 
so müfste das Product a Q ix t — xf) verschwinden, ohne dafs ein Factor 
Null wäre. 
Bringt mau cc () x-\-a l auf die Form a 0 (x — xf, so ist auch diese 
Function ein Theiler von f(x), und offenbar f(xf) = 0. 
Wenn umgekehrt die Gleichung f (x) = 0 die Wurzel x — x x be 
sitzt, so ist f(x) durch x — x x theilbar. 
Setzt man an Stelle der Variabein x irgend eine andere y und 
bildet die Formel 
f{x)—f\y) = ¿o 0” - y n ) + a { (a"“ 1 — y n ~f -f- • • • (x-y), 
so ist x — y ein Factor von f\x) — f\y), denn in 
/‘0)—f(y) = {x-y)-[««+ «i- x Zy—l f «»-ilZl 
V V 
läfst sich ieder Ausdruck -- auf die Form 
J x — y 
x v-i x v-2y xy v ~ 2 -f- y v ~ x 
bringen, wenn nur y von x verschieden ist, was festgesetzt werden 
mag. Ertheilt man nach dieser Umgestaltung, durch welche f\x)—f\y) 
die Form (x—y). cp L (x, y) erhält, worin <p l (x,y) eine ganze Function 
von x und y bezeichnet, y den Werth x x , so entsteht die Formel 
f[x) = ix - xf) . <p, {x, xf). 
Da qp, (x, xf) eine ganze Function von x ist, so ist die verlangte Dar 
stellung von f{x) als Product zweier Theiler erwiesen. 
Der Grad von (p x {x, xf) ist der [n—l) te und x n ~ 1 hat den Coef- 
ficienten a 0 . Besitzt die Gleichung f(x) — 0 noch eine zweite von x x 
verschiedene Wurzel x 2 , so mufs in 
f{xf) = {x 2 — xf.cp x (x 2 , Xf) 
nothwendig <p t (x 2 , xf verschwinden. Dann läfst die ganze Function 
von x rp x {x,xf eine Zerlegung in das Product von [x — xf und einer 
ganzen Function cp 2 [x, x x , x 2 ) zu, und es wird