Rationale ganze u. gebr, Functionen einer u. mehrerer Yariabeln.
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f{x) = {x — x x ) {x — x 2 ) (p 2 (x, a5 1; a 2 ).
Man überzeugt sich leicht, dafs cp 2 (x, x x ,x 2 ) als Function von x vom
(n — 2) teo Grade ist und die Potenz x n ~ 2 wiederum den Coefficienten
a 0 auf weist.
Mau zeigt durch „den Schlufs von v auf v -f- l“, dafs dieser Be
weisgang fortzusetzen ist, d. h. angenommen, die Gleichung f[x) = 0
habe v Wurzeln x x , x 2 ,...x v und dieser entspreche eine Darstellung
f{x) = {x —Xi) (x — x 2 ) . . . {x — x v ).(p v {x, Xi, x 2 ,... x v ),
wo (p v eine ganze Function (n — v) len Grades ist, in der der Coefficient
der höchsten Potenz a 0 ist, so gibt es in dem Falle einer (v -f- l) len
Wurzel x v+ x eine Zerlegung
f (pp) == ijX — X^ (X — X 2 ) . . . (X Xy) {x Xyj^i) (p v ^-i(x, Xi , x 2 ,. . . X v ^-i),
wo die nach abnehmenden Potenzen geordnete ganze Function von x
<p r+1 mit dem Gliede a 0 ic n—(v + 1) beginnt.
In der That soll
f(x v ^-i) = {x v -y\ Xi') (¿Í-V+1 2)... (x v ^-i x v ) cp v (x v ^-i, Xi, x 2 ,... x v )
verschwinden, so mufs (p v {x, x { , x 2 , ... x v ) für x = x v +\ Null sein und
kann darum in das Product von (x — x v ) und einer ganzen Function
des Argumentes x cp v +i(x, x x , x 2 ,... av+i) zerlegt werden. Das An
fangsglied wird das bezeichuete.
Indem aus der Annahme, dafs die in Rede stehende Zerlegung
von f{x) im Falle von v Wurzeln gilt, die gleichartige Zerlegung bei
v -f- 1 Wurzeln gefolgert werden kann, gilt dieselbe, welches auch
die Anzahl der Wurzeln ist, denn die Darstellungen
f{x) = {x — Xi).(pi{x, Xi) = {x — Xi) (x — x 2 ).y 2 (x } x l} x.¿)
wurden bewiesen; nur kann nicht angenommen werden, dais die An
zahl der Wurzeln einer Gleichung w ten Grades gröfser als n sei. Falls
v — n gesetzt wird, ist
f{x) = {x — Xi) {x — x 2 ) . . . (X — x n ).(p n {x, Xi, x 2 , ... x n )
und die ganze Function cp n besitzt das Anfangsglied a 0 x n ~ n — a Q x°
= a 0 . Besäfse die Gleichung f{x)= 0 noch eine von den früheren
verschiedene Wurzel x n +i,' so müfste = a 0 verschwinden und es
entspränge eine ganze Function
a { x 71 - 1 -f- a 2 x n ~ 2 -(-••• + a n ,
die für n Werthe x t , x 2 ,... x n verschwindet. Zerlegen wir dieselbe
in das Product
a, (x — Xi) (x — x 2 ) ... (x — x n -i),
so wird ersichtlich, dafs dieses nur für x — x„ Null sein kann, wenn
a, Null ist, nnd die ganze Function
a 2 x’ l ~ 2 + a z x n ~ z -j- . . . a n